Prawdopodobieństwo schemat - Bernoulliego - opis

Schemat Bernoulliego charakteryzuje się tym, że:

• każdy wykonywany "eksperyment" nie jest zależny od innych
• mamy pewna określona liczbę "eksperymentów" tzw. prób
• w każdej próbie mamy tylko dwie możliwości (sukces lub porażka)
• prawdopodobieństwo sukcesu  (albo porażki) jest takie same w każdym eksperymencie

Przykład 1. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 razy liczby podzielnej przez 2, rzucając 3 razy kostką?

• "eksperyment" to rzut kością, rzut ten powtarzany jest 3 razy
• każdy rzut kostka jest niezależny od kolejnych
• przyjmijmy, że sukcesem będzie wyrzucenie liczby podzielnej przez 2 (w tym przypadku mamy trzy takie możliwości czyli wyrzucenie na kostce 2, 4 lub 6)
• prawdopodobieństwo sukcesu, czyli wyrzuceniu liczby podzielnej przez 2 będzie wynosiło \(x = {3 \over 6}={1 \over 2}\) w każdym pojedynczym eksperymencie

Rozkład Bernoulliego - jeżeli prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu w jednej próbie wynosi p to prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów w n próbach można przedstawić za pomocą wzoru:

\(P (X = k)=\binom{n}{k}*p^k*(1-p)^{n-k}\)

Przykład 2. Oblicz prawdopodobieństwo w grupie 4 uczniów, że 3 osoby będą uczyły się język angielskiego, jeżeli wiadomo, że w klasie uczy się 60% uczniów angielskiego a reszta niemieckiego.

• prawdopodobieństwo sukcesu czyli osoby uczące się języka angielskiego p = 0,6
• dokonujemy 4 eksperymentów, ponieważ sprawdzamy 4 uczniów n = 4
• obliczamy prawdopodobieństwo 3 sukcesów

\(P (X = 3)=\binom{4}{3}*0,6^3*(1-0,6)^{4-3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}*0,6^3*0,4^1=4*0,216*0,4=0,35 \)