Kumulanta

Kumulantą \({\kappa_n}\) rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się zbiór wielkości, który stanowi swego rodzaju alternatywę dla momentów rozkładu. 

Momenty określają kumulanty w takim sensie, że dwa dowolne rozkłady prawdopodobieństwa, których momenty są identyczne, będą miały również identyczne kumulanty (w podobny sposób kumulanty określają momenty).

Pierwszą kumulantą jest średnia, drugą wariancja a trzecią jest trzeci moment centralny.

W niektórych przypadkach może okazać się, że podejście do konkretnego problemu jest prostsze przy użyciu kumulanty niż przy stosowaniu momentów. Kumulanty trzeciego oraz wyższego rzędu rozkładu normalnego wynoszą zero – jest to jedyny rozkład z taką wartością.

Własności kumulant:

  • Niezmienniczość: 

\({\kappa_n (X+c) = \kappa_1 (X)+c}\)

\({\kappa_n (X+c)=\kappa_n(X) }\) dla \({n \ge 2}\)

\(c\) jest stałą - dodajemy ją tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione

  • Jednorodność:

Kumulanty są jednorodne stopnia \(n\), to znaczy, że \({\kappa_n (cX) = c^n \kappa(X)}\)

  • Addytywność:

Jeżeli \(X\) oraz \(Y\)są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi: \({\kappa_n (X+Y) = \kappa_n(X)+\kappa_n(Y)}\)

 

Kumulanty zmiennej losowej \(X\) definiowane są przy pomocy funkcji generującej kumulanty \(K(t)\), która jest logarytmem naturalnym funkcji generującej moment:

\(K(t) = log E[e^{tX}]\)

Skumulowane \({\kappa_n}\) otrzymywane są z rozszerzenia szeregu funkcji generującej:

\(K(t) = {\sum_{n=1}^{\infty} \kappa_n {t_n \over n!}}\)