Schemat Hornera przedstawia wielomian postaci:
\(W(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \: ... \:+ \: a_2x^2 + a_1x + a_0\)
\(W(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \: ... \:+ \: a_2x^2 + a_1x + a_0\)
Wyjaśnienie symboli:
\(a_0, ... , a_1, a_{n-1}, a_n\) - współczynniki wielomianu
Schemat Hornera pozwala na dzielenie wielomianów przez dwumian \(x-c\), sprawdzenie czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu oraz obliczanie wartości wielomianu dla pewnego argumentu.
Przykład:
Dzielenie wielomianu \(W(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 6\) przez dwumian \((x-3)\)
Współczynniki wielomianu to: 1; -2, 4; -6
Krok I
Sporządamy tabelkę, do której wpisuemy współczynniki wielomianu.
c = 3
| 1 | -2 | 4 | -6 |
| 1 |
Pierwszy współczynnik wiersza dolnego równy jest pierwszemu współczynnikowi wiersza górnego tzn. liczbie 1.
Krok II
c = 3
| 1 | -2 | 4 | -6 |
| 1 | 1 · 3 + (-2) = 1 | 1 · 3 + 4 = 7 | 7 · 3 + (-6) = 15 |
Kolejne wspołczynniki uzupełniane są w następujący sposób:
- drugi współczynnik wiersza dolnego otrzymujemy, mnożąc poprzedni współczynnik tego wiersza, tzn. 1 przez c = 3 i dodając do drugiego współczynnika wiersza górnego, tzn. do -2: 1 · 3 + (-2) = 1
- trzeci współczynnik wiersza dolnego otrzymujemy, mnożąc poprzedni współczynnik tego wiersza, tzn. 1 przez c = 3 i dodając do trzeciego współczynnika wiersza górnego, tzn. 4: 1 · 3 + 4 = 7
- kolejny otrzymujemy analogicznie do porzednich: 7 · 3 + (-6) = 15
Ostatecznie wynik dzielenia można zapisać:
\(x^3 - 2x^2 + 4x - 6 = (x^2 + x + 7) (x-3) + 15\)
Schemat Hornera - jak stosować w praktyce?