Rozwiąż nierówność:
a) \(||x-3|-5|\geqslant 2\) b) \(||x-4|-6|>3\) c) \(||x+3|-7|<2\)
Rozwiązanie
a)
\(||x-3|-5|\geqslant 2\)
\(|x-3|-5\geqslant 2\) lub \(|x-3|-5\leqslant -2\)
\(|x-3|\geqslant 7\) lub \(|x-3|\leqslant 3\)
\(x-3\geqslant 7\) lub \(x-3\leqslant -7\) \(x-3\leqslant 3\) i \(x-3\geqslant -3\)
\(x\geqslant 10\) lub \(x\leqslant -4\) \(x\leqslant 6\) i \(x\geqslant 0\)
Z nierówności \(x\geqslant 10 \:\:\: lub \:\:\: x\leqslant -4\) otrzymujemy:
\( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\),
Z nierówności \( x\leqslant 6 \:\:\: i \:\:\: x\geqslant 0\) otrzymujemy:
\( x \epsilon \left \langle 0;6 \right \rangle\)
Razem więc mamy:
\( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 0;6 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest: \( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 0;6 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\).
b)
\(||x-4|-6|>3\)
\(||x-4|-6|>3\)
Z nierówności \( x>13 \:\:\: lub \:\:\: x<-5\) otrzymujemy:
\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (13;+\infty)\)
Z nierówności \(x<7\) i \(x>1 \) otrzymujemy:
\(x \epsilon (1;7)\)
Razem, więc mamy:
\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (1;7) \cup (13;+\infty)\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności \(||x-4|-6|>3\) jest:
\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (1;7) \cup (13;+\infty)\).
c)
\(||x+3|-7|<2\)
Z nierówności \(x<6\) i \(x>-12\) otrzymujemy:
\(x \epsilon (-12;6)\)
Z nierówności \(x>2 \:\:\: lub \:\:\: x<-8\) otrzymujemy:
\(x \epsilon (-\infty;-8)\cup (2;+\infty)\)
Następnie bierzemy część wspólną z tych wyników i otrzymujemy:
\(x\epsilon (-12;-8)\cup (2;6)\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x\epsilon (-12;-8)\cup (2;6)\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 4
a) \(||x-3|-5|\geqslant 2\) b) \(||x-4|-6|>3\) c) \(||x+3|-7|<2\)
Rozwiązanie
a)
\(||x-3|-5|\geqslant 2\)
\(|x-3|-5\geqslant 2\) lub \(|x-3|-5\leqslant -2\)
\(|x-3|\geqslant 7\) lub \(|x-3|\leqslant 3\)
\(x-3\geqslant 7\) lub \(x-3\leqslant -7\) \(x-3\leqslant 3\) i \(x-3\geqslant -3\)
\(x\geqslant 10\) lub \(x\leqslant -4\) \(x\leqslant 6\) i \(x\geqslant 0\)
Z nierówności \(x\geqslant 10 \:\:\: lub \:\:\: x\leqslant -4\) otrzymujemy:
\( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\),
Z nierówności \( x\leqslant 6 \:\:\: i \:\:\: x\geqslant 0\) otrzymujemy:
\( x \epsilon \left \langle 0;6 \right \rangle\)
Razem więc mamy:
\( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 0;6 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest: \( x\epsilon \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 0;6 \right \rangle \cup \left \langle 10;+\infty \right )\).
b)
\(||x-4|-6|>3\)
\(||x-4|-6|>3\)
\(|x-4|-6>3\) lub \(|x-4|-6<-3\)
\(|x-4|>9\) lub \(|x-4|<3\)
\(x-4>9\) lub \(x-4<-9\) \(x-4<3\) i \(x-4>-3 \)
\(x>13\) lub \(x<-5\) \(x<7\) i \(x>1 \)
Z nierówności \( x>13 \:\:\: lub \:\:\: x<-5\) otrzymujemy:
\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (13;+\infty)\)
Z nierówności \(x<7\) i \(x>1 \) otrzymujemy:
\(x \epsilon (1;7)\)
Razem, więc mamy:
\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (1;7) \cup (13;+\infty)\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności \(||x-4|-6|>3\) jest:
\(x \epsilon (-\infty;-5) \cup (1;7) \cup (13;+\infty)\).
c)
\(||x+3|-7|<2\)
\(|x+3|-7<2\) i \(|x+3|-7>-2\)
\(|x+3|<9\) i \(|x+3|>5\)
\(x+3<9\) i \(x+3>-9\) \(x+3>5\) lub \(x+3<-5\)
\(x<6\) i \(x>-12\) \(x>2\) lub \(x<-8\)
Z nierówności \(x<6\) i \(x>-12\) otrzymujemy:
\(x \epsilon (-12;6)\)
Z nierówności \(x>2 \:\:\: lub \:\:\: x<-8\) otrzymujemy:
\(x \epsilon (-\infty;-8)\cup (2;+\infty)\)
Następnie bierzemy część wspólną z tych wyników i otrzymujemy:
\(x\epsilon (-12;-8)\cup (2;6)\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x\epsilon (-12;-8)\cup (2;6)\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 4
Jak obliczyć nierówności z wartością bezwzględną – zadanie 3 - wyniki