Wzór ogólny ciągu - Zadanie 3 obliczenia

Które wyrazy ciągów przyjmują wartość 2?
\(a)\: a_n=\dfrac{5n+3}{2n+4} \:\:\:\:\:\:b)\: a_n=\dfrac{2n}{n+1} \:\:\:\:\:\:c) \:a_n=\dfrac{n+6}{12n-7}\)

Aby poznać odpowiedź trzeba przyrównać wyraz ogólny ciągu do szukanej liczby 2:

\(a_n=2\)

Więc dla podpunktu

a)

\(a_n=2\)

\( \dfrac{5n+3}{2n+4} =2\:\:\:/\:\cdot (2n+4)\)

\(5n+3=2(2n+4)\)
 
\(5n+3=4n+8 \)

\(5n-4n=8-3\)

\(n=5\)

Więc ten ciąg przyjmuje wartość 2 dla wyrazu \(a_5\)

b)

\( a_n=2\)

\(\dfrac{2n}{n+1}=2\:\:\:/\:\cdot(n+1)\)

\(2n=2(n+1)\)

\(2n=2n+1\)

\(2n-2n=1\)

\(0=1\)

Ten ciąg nie przyjmuje wartości 2

c)

\(a_n=2\)

\(\dfrac{n+6}{12n-7}=2\:\:\: /\:\cdot(12n-7)\)

\(n+6=2(12n-7)\)

\(n+6=24n-14\)

\(n-24n=-14-6\)

\(-23n=-20\:\:\:/ :(-23)\)

\(n=\dfrac{20}{23}\)

Wiemy, że \(n\) nie może przyjmować wartości ułamkowych dla ciągów, więc ten ciąg nie przyjmuje wartości 2.
 

Odpowiedź: Wśród podanych ciągów wartość \(2\) przyjmuje tylko ciąg \(a_n=\dfrac{5n+3}{2n+4}\) dla wyrazu \(a_5\).



Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 6