Które wyrazy ciągów przyjmują wartość \(-3\)?
\(a)\: a_n=-n^2+4n-6 \:\:\:\:\:\:b)\: a_n=n^2-2n+2 \:\:\:\:\:\:c) \:a_n=5n^2+4-4\)
Aby rozwiązać zadanie należy przyrównać wyraz ogólny ciągu \(a_n\) do \(-3\), więc:
a)
\( a_n=-3\)
\(-n^2+4n-6=-3\)
\(-n^2+4n-6+3=0\)
\(-n^2+4n-3=0\)
Następnie należy rozwiązać równanie kwadratowe
\(\Delta =4^2-4\cdot(-1)\cdot (-3)=16-12=4\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2\)
\(n_1=\dfrac{-4-2}{-2}=3\:\:\:\:n_2=\dfrac{-4+2}{-2}=1\)
W tym przypadku ciąg przyjmuje wartość -3 dla dwóch wyrazów ciągu, dla \(a_3\) oraz \(a_1\).
Odpowiedź: Ciąg \(a_n\) przyjmuje wartość -3 dla \(a_1\) oraz \(a_3\).
b)
\( a_n=-3\)
\(n^2-2n+2=-3\)
\(n^2-2n+2+3=0\)
\(n^2-2n+5=0\)
Następnie należy rozwiązać równanie kwadratowe
\(\Delta =(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16\)
W przypadku gdy delta wychodzi ujemna, równanie nie ma rozwiązania. Oznacza to, że ciąg \(a_n\) dla żadnego wyrazu nie przyjmuje wartości \(-3\).
Odpowiedź: Podany ciąg \(a_n\) nie przyjmuje wartości -3.
c)
\( a_n=3\)
\(5n^2+4n-4=-3\)
\(5n^2+4n-4+3=0\)
\(5n^2+4n-1=0\)
Następnie należy rozwiązać równanie kwadratowe
\( \Delta= (-4)^2-4\cdot5\cdot(-1)=16+20=36\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{36}=6\)
\(n_1=\dfrac{4-6}{2\cdot 5} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: n_2=\dfrac{4+6}{2\cdot 5}\)
\(n_1=\dfrac{-2}{10} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: n_2=\dfrac{10}{10}\)
\(n_1=-\dfrac{1}{5} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: n_2=1\)
Wiemy, że \(n\) należy do liczb naturalnych, więc wynik \(-\dfrac{1}{5}\) odrzucamy. Tak więc podany ciąg przyjmuje wartość \(-3\) dla \(a_1\).
Odpowiedź: Podany ciąg \(a_n\) przyjmuje wartość -3 dla \(a_1\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 5
Zadanie 6
Jak obliczyć wzór ogólny ciągu - zadanie 4 - wyniki