Dla jakiego parametru m suma kwadratów różnych pierwiastki równania \(x^2+(m-1)x+m=0\) jest równa 1.
Zapamiętaj
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Rozwiązanie
Równanie musi mieć dwa różne rozwiązania - \(\Delta > 0\). Z treści zadania odczytujemy „suma kwadratów różnych pierwiastki jest równa 1” - \( x_1^2+x_2^2=1\). Są to warunki jakie musimy rozwiązać ze względu na parametr \(m\).
Warunek pierwszy
\(\Delta >0\)
\(b^2-4ac >0\)
\((m-1)^2-4\cdot 1\cdot m>0\)
\(m^2-2m+1-4m >0\)
\(m^2-6m+1>0\)
Rozwiązujemy powyższą nierówność kwadratową.
\(\Delta_m=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 1=36-4=32\)
\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)
\(m_1=\frac{-(-6)-4\sqrt{2}}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-(-6)+4\sqrt{2}}{2\cdot 1}\)
\(m_1=\frac{6-4\sqrt{2}}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}\)
\(m_1=3-2\sqrt{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=3+2\sqrt{2}\)
Współczynnik \(a\) nierówności jest dodatni, więc ramiona są skierowane ku górze, oznacza to, że rozwiązaniem nierówności jest:
\(m \: \epsilon \: (-\infty; 3-2\sqrt{2}) \cup (3+2\sqrt{2};+\infty ) \)
Warunek drugi
\( x_1^2+x_2^2=1\)
Pamiętając o wzorze
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\)
Otrzymujemy
\(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=1\)
\(\frac{(m-1)^2}{1^2}-\frac{2m}{1}=1\)
\((m-1)^2-2m=1\)
\( m^2-2m+1-2m=1\)
\( m^2-4m=0\)
Rozwiązujemy równanie
\(\Delta_m=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 0=16\)
\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{16}=4\)
\(m_1=\frac{-(-4)-4}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-(-4)+4}{2\cdot 1}\)
\(m_1=\frac{4-4}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{4+4}{2}\)
\(m_1=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=4\)
Rozwiązaniem równania jest \(m=0\) lub \(m=4\)
Podsumowanie warunków
1) \(m \: \epsilon \: (-\infty; 3-2\sqrt{2}) \cup (3+2\sqrt{2};+\infty ) \)
2) \(m=0\) lub \(m=4\)
Częścią wspólną tych warunków jest \( m \: = \: 0\)
Odpowiedź: Parametr \(m\) dla którego równanie posiada sumę kwadratów różnych pierwiastków równą 1 to \( m \: = \: 0 \).
Zapamiętaj
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Rozwiązanie
Równanie musi mieć dwa różne rozwiązania - \(\Delta > 0\). Z treści zadania odczytujemy „suma kwadratów różnych pierwiastki jest równa 1” - \( x_1^2+x_2^2=1\). Są to warunki jakie musimy rozwiązać ze względu na parametr \(m\).
Warunek pierwszy
\(\Delta >0\)
\(b^2-4ac >0\)
\((m-1)^2-4\cdot 1\cdot m>0\)
\(m^2-2m+1-4m >0\)
\(m^2-6m+1>0\)
Rozwiązujemy powyższą nierówność kwadratową.
\(\Delta_m=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 1=36-4=32\)
\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)
\(m_1=\frac{-(-6)-4\sqrt{2}}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-(-6)+4\sqrt{2}}{2\cdot 1}\)
\(m_1=\frac{6-4\sqrt{2}}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}\)
\(m_1=3-2\sqrt{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=3+2\sqrt{2}\)
Współczynnik \(a\) nierówności jest dodatni, więc ramiona są skierowane ku górze, oznacza to, że rozwiązaniem nierówności jest:
\(m \: \epsilon \: (-\infty; 3-2\sqrt{2}) \cup (3+2\sqrt{2};+\infty ) \)
Warunek drugi
\( x_1^2+x_2^2=1\)
Pamiętając o wzorze
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}\)
Otrzymujemy
\(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}=1\)
\(\frac{(m-1)^2}{1^2}-\frac{2m}{1}=1\)
\((m-1)^2-2m=1\)
\( m^2-2m+1-2m=1\)
\( m^2-4m=0\)
Rozwiązujemy równanie
\(\Delta_m=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 0=16\)
\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{16}=4\)
\(m_1=\frac{-(-4)-4}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-(-4)+4}{2\cdot 1}\)
\(m_1=\frac{4-4}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{4+4}{2}\)
\(m_1=0 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=4\)
Rozwiązaniem równania jest \(m=0\) lub \(m=4\)
Podsumowanie warunków
1) \(m \: \epsilon \: (-\infty; 3-2\sqrt{2}) \cup (3+2\sqrt{2};+\infty ) \)
2) \(m=0\) lub \(m=4\)
Częścią wspólną tych warunków jest \( m \: = \: 0\)
Odpowiedź: Parametr \(m\) dla którego równanie posiada sumę kwadratów różnych pierwiastków równą 1 to \( m \: = \: 0 \).
Jak obliczyć wzory viete’a – zadanie 3 - wyniki