Wzór na kowariancję ma postać:
\(cov(X,Y) = E(X*Y) - (E(X)*E(Y))\)
gdzie:
\(cox(X,Y)\) - kowariancja pomiędzy parą zmiennych X i Y
\(E\) - wartość oczekiwana
\(X\) - wyniki dla jednej zmiennej
\(Y\) - wyniki dla drugiej zmiennej
\(cov(X,Y) = E(X*Y) - (E(X)*E(Y))\)
gdzie:
\(cox(X,Y)\) - kowariancja pomiędzy parą zmiennych X i Y
\(E\) - wartość oczekiwana
\(X\) - wyniki dla jednej zmiennej
\(Y\) - wyniki dla drugiej zmiennej
Aby obliczyć kowariancję pomiędzy dwiema zmiennymi należy obliczyć iloczyn pomiędzy wynikami jednej i drgueij zmiennej, wyciągnąć z otrzymanych wyników wartość oczekiwaną (średnią arytmetyczną) z wyliczonych iloczynów i również wartość oczekiwaną (średnią) dla wyników jednej i drugiej zmiennej. Następnie odjąć iloczyn wartości oczekiwanych dla X i Y od wartości oczekiwanej iloczynów tych zmiennych.
Przykład obliczenia kowariancji:
Chcąc zbadać kowariancję pomiędzy parą zmiennych musimy każdej obserwacji przyporządkować wyniki na obu zmiennych. Załóżmy, że chcemy zbadać kowariancję pomiędzy wzostem a wagą u 6 osób.
Tabela. Wyniki wzrostu i wagi dla przebadanych osób
Następnie wyliczamy kowariancję, wyliczamy iloczyn pomiędzy wynikami jednej i drugiej zmiennej
Tabela. Wyliczenie kowariancji dla dwóch zmiennych
Następnie obliczamy iloczyn wartości oczekiwanych dwóch zmiennych (NIE! wartość oczekiwaną iloczynów - to już mamy w tabeli)
182,67 * 85,33 = 15587,56
Kowariancja = 15778,17 - 15587,56 = 190,61 - \(cox(X,Y)\)
Przykład obliczenia kowariancji:
Chcąc zbadać kowariancję pomiędzy parą zmiennych musimy każdej obserwacji przyporządkować wyniki na obu zmiennych. Załóżmy, że chcemy zbadać kowariancję pomiędzy wzostem a wagą u 6 osób.
Tabela. Wyniki wzrostu i wagi dla przebadanych osób
| Osoba | Wzrost | Waga |
| 1 | 171 | 78 |
| 2 | 184 | 77 |
| 3 | 210 | 98 |
| 4 | 198 | 110 |
| 5 | 166 | 80 |
| 6 | 167 | 69 |
Następnie wyliczamy kowariancję, wyliczamy iloczyn pomiędzy wynikami jednej i drugiej zmiennej
Tabela. Wyliczenie kowariancji dla dwóch zmiennych
| Osoba | Wzrost | Waga | Iloczyn |
| 1 | 171 | 78 | 13338 |
| 2 | 184 | 77 | 14168 |
| 3 | 210 | 98 | 20580 |
| 4 | 198 | 110 | 21780 |
| 5 | 166 | 80 | 13280 |
| 6 | 167 | 69 | 11523 |
| Wartość oczekiwana \(E\) liczymy jak średnią | 182,67 | 85,33 | 15778,17 |
Następnie obliczamy iloczyn wartości oczekiwanych dwóch zmiennych (NIE! wartość oczekiwaną iloczynów - to już mamy w tabeli)
182,67 * 85,33 = 15587,56
Kowariancja = 15778,17 - 15587,56 = 190,61 - \(cox(X,Y)\)
Wzór na kowariancję - jak stosować w praktyce?