W przypadku modelu wieloczynnikowego (w porównaniu do obliczania w modelu jednoczynnikowym) obliczenia wykonywane są na macierzach.
\(h = \sum\limits_{i=1}^a m_i(\bar{y}_{(i.)} - \bar{y}_{(..)})'(\bar{y}_{(i.)} - \bar{y}_{(..)}) \)
\(g = \sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^{m_i}(y_{(ij)} - \bar{y}_{(i.)})'(y_{(ij)} - \bar{y}_{(i.)})\)
Następnie wyliczamy liczbę stopni swobody ze wzorów:
\(df_h = a - 1\)
\(df_g = n - a\)
Następnie obliczamy wariancję międzygrupową i wewnątrzgrupową (tzw. błędu):
\(s_h = \dfrac{h}{df_h}\)
\(h = \sum\limits_{i=1}^a m_i(\bar{y}_{(i.)} - \bar{y}_{(..)})'(\bar{y}_{(i.)} - \bar{y}_{(..)}) \)
\(g = \sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^{m_i}(y_{(ij)} - \bar{y}_{(i.)})'(y_{(ij)} - \bar{y}_{(i.)})\)
Następnie wyliczamy liczbę stopni swobody ze wzorów:
\(df_h = a - 1\)
\(df_g = n - a\)
Następnie obliczamy wariancję międzygrupową i wewnątrzgrupową (tzw. błędu):
\(s_h = \dfrac{h}{df_h}\)
\(s_g = \dfrac{g}{df_g}\)
I ostatecznie wzór na jednoczynnikową analizę wariancji jest ilorazem pomiędzy wariancją międzygrupową i wewnątrzgrupową, czyli:
\(F = \dfrac{s_h}{s_g}\)
Gdzie:
\(m_i\) - liczba osób w poszczególnych grupach
\(a\) - liczba porównywanych grup w analizie wariancji, liczba poziomów czynnika
\(\bar{y}_{(..)}\) - średnia ogólna, dla wszystkich obserwacji
\(\bar{y}_{(i.)}\) - średnia dla danego poziomu czynnika, dla badanej grupy
\(y_{(ij)}\) - poszczególne obserwacje w poszczególnych grupach
\(h\) - macierz międzygrupowej sumy kwadratów
\(g\) - macierz wewnątrz-grupowej sumy kwadratów, macierz błędu
\(df_h\) - stopnie swobody międzyobiektowe, międzygrupowe
\(df_g\) - stopnie swobody wewnątrzobiektowe, wewnątrzgrupowe, błędu
\(s_h\) - międzygrupowa macierz kowariancji
\(s_g\) - uśredniona macierz kowariancji, wewnątrz grupowa macierz kowariancji połączonych
\(F\) - wynik wieloczynnikowej analizy wariancji
Aby określić czy otrzymany wynik jest istotny statystycznie (dla założonego poziomu istotności i dla danych stopni swobody) możemy skorzystać z tablic F-Snedecora
I ostatecznie wzór na jednoczynnikową analizę wariancji jest ilorazem pomiędzy wariancją międzygrupową i wewnątrzgrupową, czyli:
\(F = \dfrac{s_h}{s_g}\)
Gdzie:
\(m_i\) - liczba osób w poszczególnych grupach
\(a\) - liczba porównywanych grup w analizie wariancji, liczba poziomów czynnika
\(\bar{y}_{(..)}\) - średnia ogólna, dla wszystkich obserwacji
\(\bar{y}_{(i.)}\) - średnia dla danego poziomu czynnika, dla badanej grupy
\(y_{(ij)}\) - poszczególne obserwacje w poszczególnych grupach
\(h\) - macierz międzygrupowej sumy kwadratów
\(g\) - macierz wewnątrz-grupowej sumy kwadratów, macierz błędu
\(df_h\) - stopnie swobody międzyobiektowe, międzygrupowe
\(df_g\) - stopnie swobody wewnątrzobiektowe, wewnątrzgrupowe, błędu
\(s_h\) - międzygrupowa macierz kowariancji
\(s_g\) - uśredniona macierz kowariancji, wewnątrz grupowa macierz kowariancji połączonych
\(F\) - wynik wieloczynnikowej analizy wariancji
Aby określić czy otrzymany wynik jest istotny statystycznie (dla założonego poziomu istotności i dla danych stopni swobody) możemy skorzystać z tablic F-Snedecora
Wzory na wieloczynnikową analizę wariancji - jak stosować w praktyce?