Wzór na autokorelację (idea) z opóźnieniem równym m ma postać:
\(\rho_m = \dfrac{\sum\limits_{n=1}^N[(x_n - \bar{x}) \cdot (x_{n-m} - \bar{x})]}{\sum\limits_{n=1}^N(x_n - \bar{x})^2}\)
\(\rho_m = \dfrac{\sum\limits_{n=1}^N[(x_n - \bar{x}) \cdot (x_{n-m} - \bar{x})]}{\sum\limits_{n=1}^N(x_n - \bar{x})^2}\)
gdzie:
\(\rho_m\) - współczynnik autokorelacji dla opóźnienia \(m\)
\(m\) - opóźnienie
\(n\) - liczba obserwacji
\(x\) - kolejne obserwacje
\(x_{n-m}\) - kolejne obserwacje opóźnione o \(m\)
\(\bar{x}\) - średnia dla obserwacji (bez opóźnienia)
Przykład obliczenia:
Poniżej zamieszczono przykład obliczenia wartości współczynnika autokorelacji o wartość przesunięcia równą 1.
Współczynnik autokorelacji dla przesunięcia m = 1 wynosi 0,230.
Przy obliczaniu współczynnika autokorelacji należy po pierwsze przesunąć wartości do przodu o zadane przesunięcie. Zatem, jeżeli mamy przesunięcie m = 1 to wartość dla 1 umieszczamy dla wartości 2, 2 - 3 itd... Gdybyśmy mieli przesunięcie równe 2, to wartość w n = 1 umieścilibyśmy przy 3. Automatycznie tworzone są wtedy dodatkowe n (dla przesunięcia), jednakże iloczyn i tak dla tych przypadków nie jest obliczany (badź obliczany dla wartości 0, co zawsze da 0). Należy pamiętać o tym, że kwadrat z różnicy pierwotnych (nieprzesuniętych) wartości wyliczany jesst dla wszystkich wartości.
\(\rho_m\) - współczynnik autokorelacji dla opóźnienia \(m\)
\(m\) - opóźnienie
\(n\) - liczba obserwacji
\(x\) - kolejne obserwacje
\(x_{n-m}\) - kolejne obserwacje opóźnione o \(m\)
\(\bar{x}\) - średnia dla obserwacji (bez opóźnienia)
Przykład obliczenia:
Poniżej zamieszczono przykład obliczenia wartości współczynnika autokorelacji o wartość przesunięcia równą 1.
| n | Zmienna x | Zmienna x przesunięta o m = 1 | \(x_{n} - \bar{x}\) | \(x_{n-m} - \bar{x}\) | \((x_{n} - \bar{x}) \cdot (x_{n-m} - \bar{x})\) | \((x_{n} - \bar{x})^2\) |
| 1 | 2 | 0,25 | 0,0625 | |||
| 2 | 1 | 2 | -0,75 | 0,25 | -0,1875 | 0,5625 |
| 3 | 2 | 1 | 0,25 | -0,75 | -0,1875 | 0,0625 |
| 4 | 3 | 2 | 1,25 | 0,25 | 0,3125 | 1,5625 |
| 5 | 2 | 3 | 0,25 | 1,25 | 0,3125 | 0,0625 |
| 6 | 3 | 2 | 1,25 | 0,25 | 0,3125 | 1,5625 |
| 7 | 2 | 3 | 0,25 | 1,25 | 0,3125 | 0,0625 |
| 8 | 1 | 2 | -0,75 | 0,25 | -0,1875 | 0,5625 |
| 9 | 2 | 1 | 0,25 | -0,75 | -0,1875 | 0,0625 |
| 10 | 1 | 2 | -0,75 | 0,25 | -0,1875 | 0,5625 |
| 11 | 1 | 1 | -0,75 | -0,75 | 0,5625 | 0,5625 |
| 12 | 1 | 1 | -0,75 | -0,75 | 0,5625 | 0,5625 |
| 1 | -0,75 | |||||
| \(\bar{x} = 1,75\) | \(\sum = 1,4375\) | \(\sum = 6,25\) | ||||
| \(\sum : \sum\) | \(\rho_m = 0,230\) |
Współczynnik autokorelacji dla przesunięcia m = 1 wynosi 0,230.
Przy obliczaniu współczynnika autokorelacji należy po pierwsze przesunąć wartości do przodu o zadane przesunięcie. Zatem, jeżeli mamy przesunięcie m = 1 to wartość dla 1 umieszczamy dla wartości 2, 2 - 3 itd... Gdybyśmy mieli przesunięcie równe 2, to wartość w n = 1 umieścilibyśmy przy 3. Automatycznie tworzone są wtedy dodatkowe n (dla przesunięcia), jednakże iloczyn i tak dla tych przypadków nie jest obliczany (badź obliczany dla wartości 0, co zawsze da 0). Należy pamiętać o tym, że kwadrat z różnicy pierwotnych (nieprzesuniętych) wartości wyliczany jesst dla wszystkich wartości.
Wzór na autokorelację - jak stosować w praktyce?