Oblicz wartość logarytmów:
a) \(\log_{2} 2^4\sqrt{2}\)
b) \(\log_{5} \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
c) \(\log_{7} \dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{7^3}}\)
d) \(\log_{4} \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{4}}\)
e) \(\log 10\sqrt[3]{10} \)
Należy pamiętać o wzorze:
\(\log_{a} b-\log_{a} c=\log_{a} (\dfrac{b}{c})\)
\(\log_{a} b+\log_{a} c=\log_{a} (b\cdot c)\)
\(m\cdot \log_{a} b=\log_{a} b^m\)
Rozwiązanie
a)
\(\log_{2} 2^4\sqrt{2}=\log_{2}2^4+\log_{2}\sqrt{2}=4\log_{2}2+\log_{2}2^{\frac{1}{2}}=4+\dfrac{1}{2}=4\dfrac{1}{2}\)
b)
\(\log_{5} \dfrac{\sqrt{5}}{5}=\log_{5}\sqrt{5}-\log_{5}5=\log_{5}5^\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\)
c)
\(\log_{7} \dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{7^3}}=\log_{7}(7\sqrt{7})-\log_{7}\sqrt{7^3}=\log_{7}7+\log_{7}\sqrt{7}-\log_{7}7^{\frac{3}{2}}=\)
\(=1+\log_{7}7^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=0\)
d)
\(\log_{4} \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{4}}=\log_{4}\sqrt[3]{4}-\log_{4}\sqrt[5]{4}=\log_{4}4^{\frac{1}{3}}-\log_{4}4^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}\)
e)
\(\log 10\sqrt[3]{10}=\log 10 +\log \sqrt[3]{10}=1+\log 10^{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3}\)
a) \(\log_{2} 2^4\sqrt{2}\)
b) \(\log_{5} \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)
c) \(\log_{7} \dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{7^3}}\)
d) \(\log_{4} \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{4}}\)
e) \(\log 10\sqrt[3]{10} \)
Należy pamiętać o wzorze:
\(\log_{a} b-\log_{a} c=\log_{a} (\dfrac{b}{c})\)
\(\log_{a} b+\log_{a} c=\log_{a} (b\cdot c)\)
\(m\cdot \log_{a} b=\log_{a} b^m\)
Rozwiązanie
a)
\(\log_{2} 2^4\sqrt{2}=\log_{2}2^4+\log_{2}\sqrt{2}=4\log_{2}2+\log_{2}2^{\frac{1}{2}}=4+\dfrac{1}{2}=4\dfrac{1}{2}\)
b)
\(\log_{5} \dfrac{\sqrt{5}}{5}=\log_{5}\sqrt{5}-\log_{5}5=\log_{5}5^\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\)
c)
\(\log_{7} \dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{7^3}}=\log_{7}(7\sqrt{7})-\log_{7}\sqrt{7^3}=\log_{7}7+\log_{7}\sqrt{7}-\log_{7}7^{\frac{3}{2}}=\)
\(=1+\log_{7}7^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=0\)
d)
\(\log_{4} \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{4}}=\log_{4}\sqrt[3]{4}-\log_{4}\sqrt[5]{4}=\log_{4}4^{\frac{1}{3}}-\log_{4}4^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}\)
e)
\(\log 10\sqrt[3]{10}=\log 10 +\log \sqrt[3]{10}=1+\log 10^{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3}\)
Jak obliczyć właściwości i wzory logarytmów – zadanie 7 - wyniki