Wykres funkcji kwadratowej – Zadanie 4

Oblicz zbiór wartości funkcji kwadratowej:
a) \(f(x)=x^2+3x-2\)

b) \(f(x)=x^2+4x+4\)

c) \(f(x)=2x^2-12x-6\)

d) \(f(x)=-x^2+x-8\)

e) \( f(x)=x^2+8x-15\)

Zapamiętaj
Aby wyznaczyć zbiór wartości należy wyznaczyć współrzędną pionową wierzchołka funkcji kwadratowej \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) oraz wyznaczyć parametr \(a\) który wskazuje czy funkcja ma ramiona skierowane w górę czy w dół.
lub
Zbiór wartości
– dla \(a>0\) - \(ZW=\left \langle -\frac{\Delta}{4a};+\infty \right )\)
–dla \(a<0\) - \(ZW=\left ( -\infty;-\frac{\Delta}{4a} \right \rangle\)

Rozwiązanie
a)
\(f(x)=x^2+3x-2\)
Wyznaczamy parametr \(a\) oraz współrzędną pionową wierzchołka \(q=-\frac{\Delta}{4a}\).
Parametr \(a=1\) więc funkcja ma ramiona skierowane ku górze.

\(\Delta=3^2-4\cdot 1\cdot (-2)=9+36=45\)

\(q=-\frac{45}{4\cdot 1}=-\frac{45}{4}=-11\frac{1}{4}\)

Odpowiedź: Zbiór wartości funkcji kwadratowej to \(ZW=\left \langle -11\frac{1}{4};+\infty \right )\).

b)
\(f(x)=x^2+4x+4\)
Wyznaczamy parametr \(a\) oraz współrzędną pionową wierzchołka \(q=-\frac{\Delta}{4a}\).
Parametr \(a=1\) więc funkcja ma ramiona skierowane ku górze.

\(\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0\)

\(q=-\frac{0}{4\cdot 1}=0\)

Odpowiedź: Zbiór wartości funkcji kwadratowej to \(ZW=\left \langle 0;+\infty \right )\).

c)
\(f(x)=2x^2-12x-6\)
Wyznaczamy parametr \(a\) oraz współrzędną pionową wierzchołka \(q=-\frac{\Delta}{4a}\).
Parametr \(a=2\) więc funkcja ma ramiona skierowane ku górze.

\(\Delta=(-12)^2-4\cdot 2\cdot (-6)=144+48=192\)

\(q=-\frac{192}{4\cdot 2}=-24\)

Odpowiedź: Zbiór wartości funkcji kwadratowej to \(ZW=\left \langle -24;+\infty \right )\).

d)
\(f(x)=-x^2+x-8\)
Wyznaczamy parametr \(a\) oraz współrzędną pionową wierzchołka \(q=-\frac{\Delta}{4a}\).
Parametr \(a=-1\) więc funkcja ma ramiona skierowane w dół.

\(\Delta=1^2-4\cdot (-1)\cdot (-8)=1-32=-31\)

\(q=-\frac{-31}{4\cdot (-1)}=-\frac{31}{4}=-7\frac{3}{4}\)

Odpowiedź: Zbiór wartości funkcji kwadratowej to \(ZW=\left ( -\infty;-7\frac{3}{4} \right \rangle\).

e)
\( f(x)=x^2+8x-15\)
Wyznaczamy parametr \(a\) oraz współrzędną pionową wierzchołka \(q=-\frac{\Delta}{4a}\).
Parametr \(a=1\) więc funkcja ma ramiona skierowane ku górze.

\(\Delta=8^2-4\cdot 1\cdot (-15)=64+60=124\)

\(q=-\frac{124}{4\cdot 1}=-31\)

Odpowiedź: Zbiór wartości funkcji kwadratowej to \(ZW=\left \langle -31;+\infty \right )\).