Sprowadź do wspólnego mianownika poniższe ułamki:
a) \(\dfrac{5}{12}\) oraz \(\dfrac{3}{5}\) oraz \(\dfrac{2}{7}\)
b) \(\dfrac{1}{3}\) oraz \(\dfrac{5}{8}\) oraz \(\dfrac{1}{5}\)
c) \(\dfrac{3}{5}\) oraz \(\dfrac{7}{12}\) oraz \(\dfrac{2}{3}\)
d) \(\dfrac{1}{2}\) oraz \(\dfrac{5}{6}\) oraz \(\dfrac{11}{12}\)
e) \(\dfrac{7}{24}\) oraz \(\dfrac{8}{9}\) oraz \(\dfrac{5}{7}\)
Rozwiązanie
a)
\(\dfrac{5}{12}\) oraz \(\dfrac{3}{5}\) oraz \(\dfrac{2}{7}\)
Wspólnym mianownikiem podanych ułamków będzie iloczyn \(12\cdot 5\cdot 7=420\). Czyli pierwszy ułamek mnożymy przez \(5\cdot 7=35\), drugi przez \(12\cdot 7=84\), a trzeci ułamek przez \(12\cdot 5=60\):
\(\dfrac{5}{12}_{\: / \: \cdot 35}=\dfrac{5\cdot 35}{12\cdot 35}=\dfrac{175}{420}\)
\(\dfrac{3}{5}_{\: / \: \cdot 84}=\dfrac{3\cdot 84}{5\cdot 84}=\dfrac{252}{420}\)
\(\dfrac{2}{7}_{\: / \: \cdot 60}=\dfrac{2\cdot 60}{7\cdot 60}=\dfrac{120}{420}\)
b)
\(\dfrac{1}{3}\) oraz \(\dfrac{5}{8}\) oraz \(\dfrac{1}{5}\)
Wspólnym mianownikiem podanych ułamków będzie iloczyn ich mianowników \(3\cdot 8\cdot 5=120\).
\( \dfrac{1}{3}_{\: / \: \cdot 40}=\dfrac{1\cdot 40}{3\cdot 40}=\dfrac{40}{120}\)
\( \dfrac{5}{8}_{\: / \: \cdot 15}=\dfrac{5\cdot 15}{8\cdot 15}=\dfrac{75}{120}\)
\( \dfrac{1}{5}_{\: / \: \cdot 24}=\dfrac{1\cdot 24}{5\cdot 24}=\dfrac{24}{120}\)
c)
\(\dfrac{3}{5}\) oraz \(\dfrac{7}{12}\) oraz \(\dfrac{2}{3}\)
Wspólnym mianownikiem będzie \(5\cdot 12=60\). Nie mnożymy przez \(3\), ponieważ ta liczba zawiera się już w \(12\).
\( \dfrac{3}{5}_{\: / \: \cdot 12}=\dfrac{3\cdot 12}{5\cdot 12}=\dfrac{36}{60}\)
\( \dfrac{7}{12}_{\: / \: \cdot 5}=\dfrac{7\cdot 5}{12\cdot 5}=\dfrac{35}{60}\)
\( \dfrac{2}{3}_{\: / \: \cdot 20}=\dfrac{2\cdot 20}{3\cdot 20}=\dfrac{40}{60}\)
d)
\(\dfrac{1}{2}\) oraz \(\dfrac{5}{6}\) oraz \(\dfrac{11}{12}\)
Wspólnym mianownikiem wyrażenia będzie \(12\).
\( \dfrac{1}{2}_{\: / \: \cdot 6}=\dfrac{1\cdot 6}{2\cdot 6}=\dfrac{6}{12}\)
\( \dfrac{5}{6}_{\: / \: \cdot 2}=\dfrac{5\cdot 2}{6\cdot 2}=\dfrac{10}{12}\)
\( \dfrac{11}{12}\)
e)
\(\dfrac{7}{24}\) oraz \(\dfrac{8}{9}\) oraz \(\dfrac{5}{7}\)
Wspólnym mianownikiem podanych ułamków jest \(504\). Znajdujemy tą liczbę przez rozłożenie mianowników na czynniki, a następnie wybieramy czynniki, które się nie powtarzają w innych rozkładach:
\( 24={\color{DarkRed}2}\cdot {\color{DarkRed}2} \cdot {\color{DarkRed}2} \cdot {\color{DarkRed}3}\)
\(9={\color{DarkRed}3}\cdot 3\)
\(7={\color{DarkRed}7}\)
więc wspólny mianownik to:
\(2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7=504\)
Oczywiście, można wymnożyć mianowniki przez siebie, jednak wtedy, będziemy mieli do czynienia z większymi liczbami.
\(\dfrac{7}{24}_{\: / \: \cdot 21}=\dfrac{7\cdot 21}{24\cdot 21}=\dfrac{147}{504}\)
\(\dfrac{8}{9}_{\: / \: \cdot 56}=\dfrac{8\cdot 56}{9\cdot 56}=\dfrac{448}{504}\)
\(\dfrac{5}{7}_{\: / \: \cdot 72}=\dfrac{5\cdot 72}{7\cdot 72}=\dfrac{360}{504}\)
a) \(\dfrac{5}{12}\) oraz \(\dfrac{3}{5}\) oraz \(\dfrac{2}{7}\)
b) \(\dfrac{1}{3}\) oraz \(\dfrac{5}{8}\) oraz \(\dfrac{1}{5}\)
c) \(\dfrac{3}{5}\) oraz \(\dfrac{7}{12}\) oraz \(\dfrac{2}{3}\)
d) \(\dfrac{1}{2}\) oraz \(\dfrac{5}{6}\) oraz \(\dfrac{11}{12}\)
e) \(\dfrac{7}{24}\) oraz \(\dfrac{8}{9}\) oraz \(\dfrac{5}{7}\)
Rozwiązanie
Sprowadzanie trzech ułamków do wspólnego mianownika polega na znalezieniu wspólnego mianownika dla dwóch ułamków, następnie znalezieniu wspólnego mianownika pomiędzy trzecim ułamkiem a tym ustalonym wcześniej. Operację można rozszerzać na wiele ułamków. W takim przypadku, najłatwiej znajdować wspólny mianownik parami, następnie znalezione mianowniki sprowadzać ponownie do wspólnego mianownika. Jeśli nie straszne są nam duże liczby, zawsze można pomnożyć wszystkie mianowniki przez siebie.
a)
\(\dfrac{5}{12}\) oraz \(\dfrac{3}{5}\) oraz \(\dfrac{2}{7}\)
Wspólnym mianownikiem podanych ułamków będzie iloczyn \(12\cdot 5\cdot 7=420\). Czyli pierwszy ułamek mnożymy przez \(5\cdot 7=35\), drugi przez \(12\cdot 7=84\), a trzeci ułamek przez \(12\cdot 5=60\):
\(\dfrac{5}{12}_{\: / \: \cdot 35}=\dfrac{5\cdot 35}{12\cdot 35}=\dfrac{175}{420}\)
\(\dfrac{3}{5}_{\: / \: \cdot 84}=\dfrac{3\cdot 84}{5\cdot 84}=\dfrac{252}{420}\)
\(\dfrac{2}{7}_{\: / \: \cdot 60}=\dfrac{2\cdot 60}{7\cdot 60}=\dfrac{120}{420}\)
b)
\(\dfrac{1}{3}\) oraz \(\dfrac{5}{8}\) oraz \(\dfrac{1}{5}\)
Wspólnym mianownikiem podanych ułamków będzie iloczyn ich mianowników \(3\cdot 8\cdot 5=120\).
\( \dfrac{1}{3}_{\: / \: \cdot 40}=\dfrac{1\cdot 40}{3\cdot 40}=\dfrac{40}{120}\)
\( \dfrac{5}{8}_{\: / \: \cdot 15}=\dfrac{5\cdot 15}{8\cdot 15}=\dfrac{75}{120}\)
\( \dfrac{1}{5}_{\: / \: \cdot 24}=\dfrac{1\cdot 24}{5\cdot 24}=\dfrac{24}{120}\)
c)
\(\dfrac{3}{5}\) oraz \(\dfrac{7}{12}\) oraz \(\dfrac{2}{3}\)
Wspólnym mianownikiem będzie \(5\cdot 12=60\). Nie mnożymy przez \(3\), ponieważ ta liczba zawiera się już w \(12\).
\( \dfrac{3}{5}_{\: / \: \cdot 12}=\dfrac{3\cdot 12}{5\cdot 12}=\dfrac{36}{60}\)
\( \dfrac{7}{12}_{\: / \: \cdot 5}=\dfrac{7\cdot 5}{12\cdot 5}=\dfrac{35}{60}\)
\( \dfrac{2}{3}_{\: / \: \cdot 20}=\dfrac{2\cdot 20}{3\cdot 20}=\dfrac{40}{60}\)
d)
\(\dfrac{1}{2}\) oraz \(\dfrac{5}{6}\) oraz \(\dfrac{11}{12}\)
Wspólnym mianownikiem wyrażenia będzie \(12\).
\( \dfrac{1}{2}_{\: / \: \cdot 6}=\dfrac{1\cdot 6}{2\cdot 6}=\dfrac{6}{12}\)
\( \dfrac{5}{6}_{\: / \: \cdot 2}=\dfrac{5\cdot 2}{6\cdot 2}=\dfrac{10}{12}\)
\( \dfrac{11}{12}\)
e)
\(\dfrac{7}{24}\) oraz \(\dfrac{8}{9}\) oraz \(\dfrac{5}{7}\)
Wspólnym mianownikiem podanych ułamków jest \(504\). Znajdujemy tą liczbę przez rozłożenie mianowników na czynniki, a następnie wybieramy czynniki, które się nie powtarzają w innych rozkładach:
\( 24={\color{DarkRed}2}\cdot {\color{DarkRed}2} \cdot {\color{DarkRed}2} \cdot {\color{DarkRed}3}\)
\(9={\color{DarkRed}3}\cdot 3\)
\(7={\color{DarkRed}7}\)
więc wspólny mianownik to:
\(2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7=504\)
Oczywiście, można wymnożyć mianowniki przez siebie, jednak wtedy, będziemy mieli do czynienia z większymi liczbami.
\(\dfrac{7}{24}_{\: / \: \cdot 21}=\dfrac{7\cdot 21}{24\cdot 21}=\dfrac{147}{504}\)
\(\dfrac{8}{9}_{\: / \: \cdot 56}=\dfrac{8\cdot 56}{9\cdot 56}=\dfrac{448}{504}\)
\(\dfrac{5}{7}_{\: / \: \cdot 72}=\dfrac{5\cdot 72}{7\cdot 72}=\dfrac{360}{504}\)
Jak obliczyć sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika – zadanie 3 - wyniki