Eszkola

Liczby pierwsze oraz im podobne - przykłady

Przydatne kalkulatory i narzędzia

„Liczba pierwsza” jest to taka liczba naturalna, którą możemy podzielić tylko i wyłącznie przez „1” oraz przez nią samą. Oba warunki podzielności muszą być jednocześnie spełnione w stosunku do danej liczby, by móc nazwać ją „liczbą pierwszą”. Jeżeli dzielenie liczby podejrzanej bycie „liczbą pierwszą” przez jakąkolwiek inną liczbą naturalną daje nam wynik będący liczbą naturalną to takiej liczby nie możemy nazwać „liczbą pierwszą”, np. 4 – możemy podzielić przez 1 oraz przez 4, ale możemy ją podzielić także przez 2 i z każdego działania otrzymamy wynik będący liczbą naturalną:

4:1 = 4

4:4 = 1

4:2 = 2 – wynik tego działania dyskwalifikuje liczbę 4 jako „liczbę pierwszą”   

Najmniejszą „liczbą pierwszą” jest liczba „2” – spełnia ona oba warunki podzielności, czyli dzieli się przez 1 oraz przez siebie samą 2. Przez żadną inną liczbę nie można podzielić liczby „2” by wynik był liczbą całkowitą.

Liczbami uzupełniającymi do „liczb pierwszych” są „liczby złożone”. „Liczby złożonymi” nazywamy wszystkie liczby naturalne, które nie są „liczbami pierwszymi”.

Wśród liczb pierwszych możemy wyodrębnić tzw. „liczby bliźniacze”. Są one taką parą liczb pierwszych, pomiędzy którymi jest różnica równa „2”. Przykładami takich par liczb są : 3 i 5; 11 i 13.

Sposobem na znajdowanie liczb pierwszych jest metoda nazywana „sitem Erastotenesa”. Polega ona na przysłowiowym przesiewaniu zbioru liczb naturalnych. Zasada działania tej metody jest następująca: mając zbiór liczb naturalnych wyrzucamy z niego liczbę „1”. Następnie naszą pierwszą liczbą w zbiorze jest liczba „2”. Szukamy w zbiorze wszystkich liczb będących wielokrotnością liczby „2”, a następnie je usuwamy z naszego zbioru wynikowego nie usuwając liczby „2” (zostawiamy). Analogicznie robimy z każdą kolejną liczbą z każdego nowo powstałego zbioru wynikowego, a więc z liczbą „3”, „5” (liczba „4” już jest usunięta ponieważ jest wielokrotnością „2”), itd. Końcowy zbiór wynikowy będzie zbiorem zawierającym tylko „liczby pierwsze”.

Przykładowy zbiór „liczb pierwszych”: 2,3,5,7,11,13,17,19…

W świecie matematycznym możemy wyodrębnić także „liczby względnie pierwsze”. Są to dwie liczby naturalne, których największym wspólnym dzielnikiem (NWD) naturalnym jest liczba „1”. Przykłady: 1 i 2; 5 i 6; 9 i 10; 8 i 15; 24 i 55… 

Metodą pozwalającą znaleźć największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch dowolnych liczb naturalnych jest metoda określana mianem „algorytmu Euklidesa”. W metodzie tej bazujemy na jednym działaniu – odejmowaniu. Algorytm działania tej metody przedstawia się następująco: Mając dowolną parę liczb naturalnych chcemy znaleźć ich największy wspólny dzielnik (NWD). Od większej liczby odejmujemy mniejszą i tworzymy nową parę liczb. W tej parze umieszczamy mniejszą liczbę z poprzedniej pary oraz wynik z odejmowania liczb z poprzedniej pary. Całą metodę powtarzamy do momentu aż liczby w naszej kolejnej nowo powstałej parze będą sobie równe. Przykład: 354 i 726:

1. Odejmowanie : 726 – 354 = 372

2. Tworzenie nowej pary: 372 i 354

3. Odejmowanie: 372 – 354 = 22

4. Tworzenie nowej pary: 354 i 22

5. Odejmowanie: 354 – 22 = 332

6. Tworzenie nowej pary: 332 i 22

7. Odejmowanie: 332 – 22 = 310

8. Tworzenie nowej pary: 310 i 22

9. Odejmowanie: 310 – 22 = 288

10. Tworzenie nowej pary: 288 i 22

11. Odejmowanie: 288 – 22 = 266

12. Tworzenie nowej pary: 266 i 22

13. Odejmowanie: 266 – 22 = 244

14. Tworzenie nowej pary: 244 i 22

15. Odejmowanie: 244 – 22 = 222

16. Tworzenie nowej pary: 222 i 22

17. Odejmowanie: 222 – 22 = 200

18. Tworzenie nowej pary: 200 i 22

19. Odejmowanie: 200 – 22 = 178

20. Tworzenie nowej pary: 178 i 22

21. Odejmowanie: 178 – 22 = 156

22. Tworzenie nowej pary: 156 i 22

23. Odejmowanie: 156 – 22 = 134

24. Tworzenie nowej pary: 134 i 22

25. Odejmowanie: 134 – 22 = 112

26. Tworzenie nowej pary: 112 i 22

27. Odejmowanie: 112 – 22 = 90

28. Tworzenie nowej pary: 90 i 22

29. Odejmowanie: 90 – 22 = 68

30. Tworzenie nowej pary: 68 i 22

31. Odejmowanie: 68 – 22 = 46

32. Tworzenie nowej pary: 46 i 22

33. Odejmowanie: 46 – 22 = 24

34. Tworzenie nowej pary: 24 i 22

35. Odejmowanie: 24 – 22 = 2

36. Tworzenie nowej pary: 22 i 2

37. Odejmowanie: 22 – 2 = 20

38. Tworzenie nowej pary: 20 i 2

39. Odejmowanie: 20 – 2 = 18

40. Tworzenie nowej pary: 18 i 2

41. Odejmowanie: 18 – 2 = 16

42. Tworzenie nowej pary: 16 i 2

43. Odejmowanie: 16 – 2 = 14

44. Tworzenie nowej pary: 14 i 2

45. Odejmowanie: 14 – 2 = 12

46. Tworzenie nowej pary: 12 i 2

47. Odejmowanie: 12 – 2 = 10

48. Tworzenie nowej pary: 10 i 2

49. Odejmowanie: 10 – 2 = 8

50. Tworzenie nowej pary: 8 i 2

51. Odejmowanie: 8 – 2 = 6

50. Tworzenie nowej pary: 6 i 2

51. Odejmowanie: 6 – 2 = 4

50. Tworzenie nowej pary: 4 i 2

51. Odejmowanie: 4 – 2 = 2

50. Tworzenie nowej pary: 2 i 2

51. Odejmowanie: 2 – 2 = 0 – koniec algorytmu, największym wspólnym dzielnikiem liczb 354 i 726 jest liczba 2

NWD(726,354)=2

Inną wersją algorytmu jest metoda bazująca na dzieleniu z resztą.

Bierzemy obie liczby i dzielimy większą przez mniejszą otrzymując wynik z dzielenia całkowity (c1) resztą (r1). Tworzymy nową parę liczb składającą się z liczby mniejszej oraz reszty z dzielenia. Następnie dzielimy liczbę mniejszą przez resztę z pierwszego dzielenia (r1) otrzymując wynik z dzielenia całkowity (c2) oraz resztę (r2). Otrzymujemy znowu parę liczb składającą się z liczby mniejszej z poprzedniej pary oraz reszty z dzielenia. I tak powtarzamy schemat dopóki reszta z dzielenia nie będzie wynosić „0”. Bazując na poprzednich liczbach przykład wygląda następująco:

726 : 354 = 2 r.18

354 : 18 = 19 r.12

18 : 12 = 1 r.6

12 : 6 = 2 r.0 – największy wspólny dzielnik to liczba „2”

NWD (726,354)=2

Metoda ta jest dużo szybsza i zajmuje mniej miejsca na obliczenia.

Kolejnym pojęciem są „liczby doskonałe”. Są to liczby naturalne, które są równe sumie jej wszystkich naturalnych podzielników, mniejszych od tej liczby. Przykładem jest liczba „28”. Naturalne podzielniki liczby „28” mniejsze on niej samej  to 14, 7, 4, 2, 1. Suma podzielników wynosi: 1+2+4+7+14 = 28.

Dotychczas poznano niewiele „liczb doskonałych”, lecz wszystkie poznane są liczbami parzystymi. Przykłady liczb doskonałych: 6, 28, 496, 8128.