Aby rozwiązać równanie z wartością bezwzględną, poza zwykłymi zasadami wykorzystywanymi w rozwiązywaniu równań, wykorzystuje się ponadto tylko jedną dodatkową zasadę:
\(|ax+b|=c \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
ax+b=c \:\: dla \:(ax+b)\geqslant 0\\
-(ax+b)=c \:\: dla \:(ax+b)<0
\end{matrix}\right.\)
Dla równań z jedną wartością bezwzględną można ten wzór uprościć do postaci:
\(|ax+b|=c \Leftrightarrow (ax+b=c \vee ax+b=-c)\)
czyli, z jednego równania z wartością bezwzględną tworzy się dwa równania - jedno to zwykłe opuszczenie wartości bezwzględnej, a drugie to opuszczenie wartości bezwzględnej ze zmianą znaku.
Przykład
Rozwiąż równanie:
\(|x+4|=10\)
Należy skorzystać z wzoru przedstawionego powyżej, więc:
\(x+4=10 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -(x+4)=10 \)
\(x=10-4 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -x-4=10 \)
\(x=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -x=10+4 \)
\(x=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -x=14 \)
\(x=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x=-14 \)
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=6\) lub \(x=-14\)
W powyższym przykładzie można zamiast \(\vee\) pisać \(lub\). Wyniki przedstawione mogą być na kilka sposobów:
1) \(x=6\) lub \(x=-14\)
2) \(x\epsilon \{ -14;6 \}\)
W przypadku, gdy w równaniu mamy dwie wartości bezwzględne (jedna wartość bezwzględna znajduje się wewnątrz drugiej) to będziemy operacje rozbijania na dwa równania przeprowadzali dwa razy, oznacza to, że na końcu będziemy mieli cztery równania do rozwiązania.
Przykład
\(||x+2|-7|=5\)
Po kolei rozbijamy od wartości bezwzględnej będącej jakby na zewnątrz:
\(|x+2|-7=5 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\ -(|x+2|-7)=5\)
Operację rozbijania powtarzamy:
\(x+2-7=5 \:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\: -(x+2)-7=5 \:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\: -(x+2-7)=5 \:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\: -(-(x+2)-7)=5\)
następnie rozwiązujemy jak zwykłe równania:
\(x=10 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x=-14 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\ x=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x=-4\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania są: \(x \epsilon \{-14;-4;0;10 \}\).
Równanie z \(x\)-em pod wartością bezwzględną oraz na zewnątrz, np.:
\(x+|x-3|=2\)
Trzeba rozwiązywać sprawdzając warunki. Przykład rozwiązanego zadania znajduje się wśród zadań poniżej.
Przykład
Inaczej sytuacja się ma, gdy mamy dwie wartości bezwzględne będące obok siebie, np.:
\(|x-3|+|x+5|=10\)
W takim przypadku sprawdzamy, kiedy każda z wartości bezwzględnych przyjmuje wartości większe lub równe zero:
\(x-3 \geqslant 0\) oraz \(x+5 \geqslant 0\)
\(x \geqslant3\) oraz \(x \geqslant-5\)
Można oznaczyć przedziały na osi liczbowej, choć często można łatwo ustalić bez rysowania na osi:
Łatwo zauważyć, że podzielimy równanie na trzy przedziały:
1) \(x\epsilon (-\infty;-5)\)
po opuszczeniu wartości bezwzględnej zmieniamy znak w obu,
\(-(x-3)-(x+5)=10\)
2) \(x\epsilon \left \langle -5;3 \right )\)
po opuszczeniu wartości bezwzględnej zmieniamy znak w (x-3), a x+5 pozostawiamy bez zmian
\(-(x-3)+(x+5)=10\)
3) \(x\epsilon \left \langle 3;+\infty\right )\)
tylko opuszczamy wartość bezwzględną, nie zmieniając znaków:
\((x-3)+(x+5)=10\)
1) Rozwiązujemy pierwszy przypadek, dla \(x\epsilon (-\infty;-5)\):
\(-(x-3)-(x+5)=10\)
\(-x+3-x-5=10\)
\(-2x=10-3+5\)
\(-2x=12 \:\: / \: :(-2)\)
\(x=\dfrac{12}{-2}\)
\(x=-6\)
\(x=-6\) należy do przedziału \((-\infty;-5)\), co oznacza, że \(-6\) jest rozwiązaniem równania.
2) Rozwiązujemy drugi przypadek, dla \(x\epsilon \left \langle -5;3 \right )\):
\(-(x-3)+(x+5)=10\)
\(-x+3+x+5=10\)
\(8=10\)
wyszła sprzeczność, oznacza to, że w przedziale \( (-\infty;-5)\) równanie nie ma rozwiązania,
3) rozwiązujemy trzeci przypadek, dla \(x\epsilon \left \langle 3;+\infty \right )\)
\((x-3)+(x+5)=10\)
\(x-3+x+5=10\)
\(2x=10+3-5\)
\(2x=8\)
\(x=4\)
\(x=4\) należy do przedziału \(\left \langle 3;+\infty \right ) \), oznacza to, że liczba \(4\) jest rozwiązaniem równania.
Odpowiedź: rozwiązaniem równania są dwie liczby \( x\epsilon \{-6;4\} \).
Należy również pamiętać, że:
\(\sqrt{x^2}=|x|\)
Przykładowe zadania
Zad. 1) Rozwiąż równanie:
a) \(|x|=5\) b) \(|x|=7\) c) \(|x-5|=2\)
d) \(|x+9|=3\) e) \(|x+2|=-1\) f) \(\sqrt{(x+5)^2}=4\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 2) Rozwiąż równania:
a) \(||x+2|-5|=2\) b) \(||x-5|-3|=4\) c) \(|7+|3-2x||=18\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 3) Rozwiąż równanie:
a) \(|x-3|+|x+3|=10\) b) \(|x-1|-|x+2|=-3\)
c) \(|6-2x|+|5x-10|=12\) Zobacz rozwiązanie
\(|ax+b|=c \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
ax+b=c \:\: dla \:(ax+b)\geqslant 0\\
-(ax+b)=c \:\: dla \:(ax+b)<0
\end{matrix}\right.\)
Dla równań z jedną wartością bezwzględną można ten wzór uprościć do postaci:
\(|ax+b|=c \Leftrightarrow (ax+b=c \vee ax+b=-c)\)
czyli, z jednego równania z wartością bezwzględną tworzy się dwa równania - jedno to zwykłe opuszczenie wartości bezwzględnej, a drugie to opuszczenie wartości bezwzględnej ze zmianą znaku.
Przykład
Rozwiąż równanie:
\(|x+4|=10\)
Należy skorzystać z wzoru przedstawionego powyżej, więc:
\(x+4=10 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -(x+4)=10 \)
\(x=10-4 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -x-4=10 \)
\(x=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -x=10+4 \)
\(x=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: -x=14 \)
\(x=6 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x=-14 \)
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest \(x=6\) lub \(x=-14\)
W powyższym przykładzie można zamiast \(\vee\) pisać \(lub\). Wyniki przedstawione mogą być na kilka sposobów:
1) \(x=6\) lub \(x=-14\)
2) \(x\epsilon \{ -14;6 \}\)
W przypadku, gdy w równaniu mamy dwie wartości bezwzględne (jedna wartość bezwzględna znajduje się wewnątrz drugiej) to będziemy operacje rozbijania na dwa równania przeprowadzali dwa razy, oznacza to, że na końcu będziemy mieli cztery równania do rozwiązania.
Przykład
\(||x+2|-7|=5\)
Po kolei rozbijamy od wartości bezwzględnej będącej jakby na zewnątrz:
\(|x+2|-7=5 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\ -(|x+2|-7)=5\)
Operację rozbijania powtarzamy:
\(x+2-7=5 \:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\: -(x+2)-7=5 \:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\: -(x+2-7)=5 \:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\: -(-(x+2)-7)=5\)
następnie rozwiązujemy jak zwykłe równania:
\(x=10 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x=-14 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\ x=0\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: x=-4\)
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania są: \(x \epsilon \{-14;-4;0;10 \}\).
Równanie z \(x\)-em pod wartością bezwzględną oraz na zewnątrz, np.:
\(x+|x-3|=2\)
Trzeba rozwiązywać sprawdzając warunki. Przykład rozwiązanego zadania znajduje się wśród zadań poniżej.
Przykład
Inaczej sytuacja się ma, gdy mamy dwie wartości bezwzględne będące obok siebie, np.:
\(|x-3|+|x+5|=10\)
W takim przypadku sprawdzamy, kiedy każda z wartości bezwzględnych przyjmuje wartości większe lub równe zero:
\(x-3 \geqslant 0\) oraz \(x+5 \geqslant 0\)
\(x \geqslant3\) oraz \(x \geqslant-5\)
Można oznaczyć przedziały na osi liczbowej, choć często można łatwo ustalić bez rysowania na osi:
Łatwo zauważyć, że podzielimy równanie na trzy przedziały:
1) \(x\epsilon (-\infty;-5)\)
po opuszczeniu wartości bezwzględnej zmieniamy znak w obu,
\(-(x-3)-(x+5)=10\)
2) \(x\epsilon \left \langle -5;3 \right )\)
po opuszczeniu wartości bezwzględnej zmieniamy znak w (x-3), a x+5 pozostawiamy bez zmian
\(-(x-3)+(x+5)=10\)
3) \(x\epsilon \left \langle 3;+\infty\right )\)
tylko opuszczamy wartość bezwzględną, nie zmieniając znaków:
\((x-3)+(x+5)=10\)
1) Rozwiązujemy pierwszy przypadek, dla \(x\epsilon (-\infty;-5)\):
\(-(x-3)-(x+5)=10\)
\(-x+3-x-5=10\)
\(-2x=10-3+5\)
\(-2x=12 \:\: / \: :(-2)\)
\(x=\dfrac{12}{-2}\)
\(x=-6\)
\(x=-6\) należy do przedziału \((-\infty;-5)\), co oznacza, że \(-6\) jest rozwiązaniem równania.
2) Rozwiązujemy drugi przypadek, dla \(x\epsilon \left \langle -5;3 \right )\):
\(-(x-3)+(x+5)=10\)
\(-x+3+x+5=10\)
\(8=10\)
wyszła sprzeczność, oznacza to, że w przedziale \( (-\infty;-5)\) równanie nie ma rozwiązania,
3) rozwiązujemy trzeci przypadek, dla \(x\epsilon \left \langle 3;+\infty \right )\)
\((x-3)+(x+5)=10\)
\(x-3+x+5=10\)
\(2x=10+3-5\)
\(2x=8\)
\(x=4\)
\(x=4\) należy do przedziału \(\left \langle 3;+\infty \right ) \), oznacza to, że liczba \(4\) jest rozwiązaniem równania.
Odpowiedź: rozwiązaniem równania są dwie liczby \( x\epsilon \{-6;4\} \).
Należy również pamiętać, że:
\(\sqrt{x^2}=|x|\)
Przykładowe zadania
Zad. 1) Rozwiąż równanie:
a) \(|x|=5\) b) \(|x|=7\) c) \(|x-5|=2\)
d) \(|x+9|=3\) e) \(|x+2|=-1\) f) \(\sqrt{(x+5)^2}=4\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 2) Rozwiąż równania:
a) \(||x+2|-5|=2\) b) \(||x-5|-3|=4\) c) \(|7+|3-2x||=18\) Zobacz rozwiązanie
Zad. 3) Rozwiąż równanie:
a) \(|x-3|+|x+3|=10\) b) \(|x-1|-|x+2|=-3\)
c) \(|6-2x|+|5x-10|=12\) Zobacz rozwiązanie
Równania z wartością bezwzględną Wasze opinie
3 - x/2 + 1 > |x - 3|