Eszkola

Średnia harmoniczna

Średnią harmoniczną liczb dodatnich x1, x2, ..., xnazywamy liczbę:

\({\overline x_h} ={n \over {1 \over x_1}+{1\over x_2} + ... + {1 \over x_n}}\)

lub inaczej: \({\overline x_h} = {n \over {\Sigma_{i=1}^{n} {1 \over x_i}}}\)

\({\overline x_h}\) – średnia harmoniczna,

\(n \) – liczebność próby

\(x_i\) – wartość badanej cechy

Liczby nie mogą być zerowe. Powyższy wzór stosowany jest w przypadku szeregu szczegółowego.

Jeżeli chodzi o szereg rozdzielczy, średnia harmoniczna opisana jest wzorem:

\({\overline x_h } = {{\Sigma_{i=1}^{k} n_i} \over \Sigma_{i=1}^{k} {n_ i \over {\hat{x_i}}}}\)

\({\overline x_h}\) - średnia harmoniczna

\(n\) - liczebność próby

\({ \hat{x_i}}\)- środek klasy

\(k\) - liczba klas

Średnia harmoniczna to klasyczna miara położenia. Stanowi ona odwrotność średniej arytmetycznej oraz stosowana jest w przypadkach, gdy wartości danych są wyrażone w jednostkach w postaci względnej (np. prędkość lub gęstość zaludnienia).

Przykłady:

  • Robotnicy pracowali 4 godzin. Załóżmy, że w tym czasie dwóch pracowników potrzebuje na złożenie danego wyrobu 10 minut, jeden pracownik potrzebuje 20 minut, natomiast ostatni 5 minut. Jaka będzie średnia harmoniczna?

\({\overline x_h} = {4 \over {{1 \over 10} + {1 \over 10} + {1 \over 20} + {1 \over 5}}} \approx 11 min\)

  • Policzmy średnią harmoniczną liczb: \({{ 1\over 3}, {1\over 12}, {3 \over 7}, {4 \over 6}}.\)

\({\overline x_h} = {4 \over {{1 \over 3} + {1 \over 12} + {3 \over 7} + {4 \over 6}}} {\approx 2,64}\)

  • Drogę z miejscowości A do miejscowości B, Jacek przebył z prędkością \(v_1 = 50 {km / h}\), natomiast powrotną, z B do A z prędkością \(v_2 = 60 km/h.\) Jaka była jego średnia prędkość na trasie A - B - A?

Wzór na prędkość wygląda następująco: \(v = {s \over t}\)

\(s \) - droga (odległość A - B)

\({ s\over v_1} \) - czas potrzebny na pokonanie drogi z miejscowości A do miejscowości B

\({s \over v_2}\) - czas potrzebny na pokonanie drogi z miejscowości B do miejscowości A

Zatem czas potrzebny na pokonanie drogi w obie strony wynosi: \(t = t_1 + t_2 = {{s \over v_1} + {s \over v_2}} \)

\(v_śr = {2s \over t} = {2s \over {s \over v_1} + {s \over v_2}} = {2 \over {1 \over v_1} + {1\over v_2}} = {2v_1 v_2 \over v_1 +v_2}\)

\(v_śr = {{2 \cdot 70 \cdot 60} \over {60+70}} {\approx 65 km/h}\)