Ciąg arytmetyczny – Zadanie 4 obliczenia

Zbadaj, czy podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

a) \(a_n=n^2+3\)      b) \(a_n=2n-5\)

Rozwiązując zadanie posłużymy się definicją ciągu arytmetycznego. Wzór występujący w definicji jest następujący:

\(a_{n+1}=a_n+r\)

po przekształceniu można otrzymujemy:

\(r=a_{n+1}-a_n\)

z definicji wiadomo, że jeśli różnica (\(r\)) pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami jest wartością stałą to ciąg jest arytmetyczny. W zadaniu mamy już podaną wartość \(a_n\) pozostaje do obliczenia wartość \(a_{n+1}\) i podstawienie do wzoru.

a)

\(a_n=n^2+3\)

Obliczamy wartość \(a_{n+1}\) podstawiając za \(n\) wartość \(n+1\)

\(a_{n+1}=(n+1)^2+3=n^2+2n+1+3=n^2+2n+4\)

Następnie podstawiamy do wzoru wynikającego z definicji ciągu arytmetycznego:

\(r=a_{n+1}-a_n= n^2+2n+4-( n^2+3)= n^2+2n+4-n^2-3=2n+1\)

Otrzymana wartość \(r\) jest wartością zależną od \(n\) co oznacza, że nie jest stała. Oznacza to, że podany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

Odpowiedź: Różnica \(r=2n+1\) nie jest wartością stałą, czyli ciąg \(a_n=n^2+3\) nie jest ciągiem arytmetycznym.


b)

\(a_n=2n-5\)

Obliczamy \(a_{n+1}\)

\(a_{n+1}=2(n+1)-5=2n-2-5=2n-7\)

Podstawiamy do wzoru występującego w definicji ciągu:

\(r=a_{n+1}-a_n=2n-7-(2n-5)=2n-7-2n+5=-2\)

Odpowiedź: Ciąg \(a_n=2n-5\) jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ różnica ciągu \(r=-2\) jest wartością stałą.



Zadanie 1

Zadanie 2 

Zadanie 3 

Zadanie 5 

Zadanie 6 

Zadanie 7 

Zadanie 8 

Zadanie 9 

Zadanie 10

Zadanie 11