Mając dane dwa wyrazy ciągu arytmetycznego, wyznacz wzór ogólny tego ciągu:
a) \(a_4=22 \:\:\:\: a_5=26\) b) \(a_{10}=162\:\:\:\: a_{11}=170\)
Rozwiązać zadanie można dwoma sposobami. Pierwszy to zauważamy, że w obu podpunktach podane są wartości sąsiednich wyrazów ciągu, można w ten sposób obliczyć wartość różnicy \(r\) ciągu arytmetycznego, następnie podstawić do wzoru na ogólny wyraz ciągu znane wartości i wyliczyć \(a_1\), a na koniec zapisać ogólny wzór ciągu.
Drugi sposób to na początku podstawić znane wartości do wzoru na wyraz ogólny, powstanie układ równań, który po rozwiązaniu da nam szukane wyniki.
W powyższym zadaniu podpunkt a) rozwiążemy pierwszym sposobem, a podpunkt b) rozwiążemy drugim sposobem.
a)
\(a_4=22 \:\:\:\: a_5=26\)
Dane są dwa sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego, można więc skorzystać z wzoru:
\(r=a_{n+1}-a_n\)
do obliczenia różnicy ciągu aryt.
\(r=26-22=4\)
Następnie do wzoru na wyraz ogólny wstawimy obliczoną wartość różnicy ciągu oraz wartość \(a_4\) czyli czwartego wyrazu ciągi, oczywiście za \(n\) podstawiamy \(4\):
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(22=a_1+(4-1)\cdot 4\)
\(22=a_1+3\cdot 4\)
\(-a_1=-22+12\)
\(-a_1=-10\)
\(a_1=10\)
Mając wszystkie dany możemy napisać wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\(a_n=10+(n-1)\cdot 4\)
\(a_n=10+4n-4\)
\(a_n=4n+6\)
Odpowiedź: Szukany wzór ciągu arytmetycznego to \(a_n=4n+6\).
b)
\(a_{10}=162\:\:\:\: a_{11}=170\)
podstawiamy do wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy układ równań:
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(\left\{\begin{matrix}
162=a_1+(10-1)\cdot r\\
170=a_1+(11-1)\cdot r
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
162=a_1+9\cdot r\\
170=a_1+10 \cdot r
\end{matrix}\right.\)
następnie odejmujemy równania stronami:
\(170-162=a_1-a_1+10\cdot r -9\cdot r\)
\(8=r\)
wstawiamy wyliczone \(r\) do jednego z równań:
\(162=a_1+9\cdot 8\)
\(162=a_1+72\)
\(a_1=162-72\)
\(a_1=90\)
teraz możemy wyliczone wartości wstawić do wzoru ogólnego
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(a_n=90+(n-1)\cdot 8\)
\(a_n=90+8n-8\)
\(a_n=8n+82\)
Odpowiedź: Szukany wzór ciągu arytmetycznego to \(a_n=8n+82\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 7
Zadanie 8
Zadanie 9
Zadanie 10
Zadanie 11
a) \(a_4=22 \:\:\:\: a_5=26\) b) \(a_{10}=162\:\:\:\: a_{11}=170\)
Rozwiązać zadanie można dwoma sposobami. Pierwszy to zauważamy, że w obu podpunktach podane są wartości sąsiednich wyrazów ciągu, można w ten sposób obliczyć wartość różnicy \(r\) ciągu arytmetycznego, następnie podstawić do wzoru na ogólny wyraz ciągu znane wartości i wyliczyć \(a_1\), a na koniec zapisać ogólny wzór ciągu.
Drugi sposób to na początku podstawić znane wartości do wzoru na wyraz ogólny, powstanie układ równań, który po rozwiązaniu da nam szukane wyniki.
W powyższym zadaniu podpunkt a) rozwiążemy pierwszym sposobem, a podpunkt b) rozwiążemy drugim sposobem.
a)
\(a_4=22 \:\:\:\: a_5=26\)
Dane są dwa sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego, można więc skorzystać z wzoru:
\(r=a_{n+1}-a_n\)
do obliczenia różnicy ciągu aryt.
\(r=26-22=4\)
Następnie do wzoru na wyraz ogólny wstawimy obliczoną wartość różnicy ciągu oraz wartość \(a_4\) czyli czwartego wyrazu ciągi, oczywiście za \(n\) podstawiamy \(4\):
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(22=a_1+(4-1)\cdot 4\)
\(22=a_1+3\cdot 4\)
\(-a_1=-22+12\)
\(-a_1=-10\)
\(a_1=10\)
Mając wszystkie dany możemy napisać wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\(a_n=10+(n-1)\cdot 4\)
\(a_n=10+4n-4\)
\(a_n=4n+6\)
Odpowiedź: Szukany wzór ciągu arytmetycznego to \(a_n=4n+6\).
b)
\(a_{10}=162\:\:\:\: a_{11}=170\)
podstawiamy do wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy układ równań:
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(\left\{\begin{matrix}
162=a_1+(10-1)\cdot r\\
170=a_1+(11-1)\cdot r
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
162=a_1+9\cdot r\\
170=a_1+10 \cdot r
\end{matrix}\right.\)
następnie odejmujemy równania stronami:
\(170-162=a_1-a_1+10\cdot r -9\cdot r\)
\(8=r\)
wstawiamy wyliczone \(r\) do jednego z równań:
\(162=a_1+9\cdot 8\)
\(162=a_1+72\)
\(a_1=162-72\)
\(a_1=90\)
teraz możemy wyliczone wartości wstawić do wzoru ogólnego
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
\(a_n=90+(n-1)\cdot 8\)
\(a_n=90+8n-8\)
\(a_n=8n+82\)
Odpowiedź: Szukany wzór ciągu arytmetycznego to \(a_n=8n+82\).
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 7
Zadanie 8
Zadanie 9
Zadanie 10
Zadanie 11
Jak obliczyć ciąg arytmetyczny – zadanie 6 - wyniki