Ciąg arytmetyczny – Zadanie 8 obliczenia

Oblicz sumę pierwszych 30 wyrazów ciągu arytmetycznego:

a) 6, 12, 18, 24, …       b) 1, 9, 17, 25, …

Gdyby w treści zadania była mowa o pierwszych 8 lub 10 wyrazach to można by je próbować dodawać jednak dla większych liczb łatwiej używać wzorów. Najpierw znajdziemy wzór na n-ty wyraz ciągu a następnie podstawimy wszystko do wzoru na sumę i obliczymy wynik.

a)

6, 12, 18, 24, …

Do obliczenia sumy skorzystamy z wzoru:

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

do obliczenia sumy pierszych 30 wyrazów,

\(S_{30}=\dfrac{a_1+a_{30}}{2}\cdot 30\)

jak widać pierwszy wyraz ciągu wynosi \(a_1=6\), różnica ciągu to:

\(r=a_{n+1}-a_n\)

lub jeszcze prościej \(r\) jest liczbą jaką trzeba dodać do danej liczby aby powstała kolejna liczba ciągu. W tym przypadku dodajemy zawsze po \(6\) i właśnie tyle wynosi różnica \(r\).

Korzystając z wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego obliczamy \(a_{30}\)

\(a_n=a_1+(n-1)\cdot r\)

\(a_30=6+(30-1)\cdot 6=6+29\cdot 6= 6+174=180\)

możemy już podstawić do wzoru na sumę:

\(S_{30}=\dfrac{6+180}{2}\cdot 30=\dfrac{186}{2}\cdot 30=93\cdot 30=2700\)

Odpowiedź: Szukana suma wynosi \(S_{30}=2700\).

b)

1, 9, 17, 25, …

Rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a)

\(a_1=1\)

\(r=9-1=8\)

\(a_n=1+(n-1)\cdot 8=8n-7\)

\(a_{30}=8\cdot 30-7=240-7=233\)

\(S_{30}=\dfrac{1+233}{2}\cdot 30=\dfrac{234}{2}\cdot 30=117\cdot 30=3510\)

Odpowiedź: Szukana suma wynosi \(S_{30}=3510\).



Zadanie 1

Zadanie 2 

Zadanie 3 

Zadanie 4 

Zadanie 5 

Zadanie 6 

Zadanie 7 

Zadanie 9 

Zadanie 10

Zadanie 11