Podane liczby w kolejności są pierwszymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1; r \: ; a_{15}, a_{17}\).
a) 3, 7, 11, 15, 19,… b) 5, 6, 7, 8, 9,… c) 2, 13, 24, 35, 46,…
Do rozwiązania zadania potrzeba czterech wartości. Pierwsza \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu (pierwsza liczba w każdym podpunkcie). Druga \(r\) jest różnicą pomiędzy dwoma sąsiadującymi ze sobą wyrazami, zgodnie ze wzorem:
\(a_{n+1}-a_n = r\)
Trzecia i czwarta wartość to wyrazy piętnasty i siedemnasty podanego ciągu, do ich obliczenia użyjemy wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
podstawiając wcześniej wyliczone \(a_1\) oraz \(r\) natomiast za \(n\) podstawimy odpowiednio najpierw 15 a następnie 17.
a)
3, 7, 11, 15, 19,…
Pierwszym wyrazem ciągu jest
\(a_1=3\)
Do obliczenia różnicy użyjemy wyrazu pierwszego i drugiego, tak więc:
\(r= a_{n+1}-a_n =7-3=4\)
Zanim obliczymy kolejne wartości zapiszmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\( a_n=a_1+(n-1)r=3+(n-1)4=3+4n-4=4n-1\)
\(a_n=4n-1\)
teraz możemy obliczyć kolejne wartości, podstawiając w miejsce \(n\) odpowiednio 15 i 17:
\(a_{15}=4\cdot 15 -1=60-1=59\)
\(a_{17}=4\cdot 17 -1=68-1=67\)
Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=3; r=4; a_{15}=59;a_{17}=67\).
b)
5, 6, 7, 8, 9,…
rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt wyżej,
\(a_1=5\)
\(r= a_{n+1}-a_n =6-5=1\)
\( a_n=a_1+(n-1)r=5+(n-1)\cdot 1=5+n-1=n+4\)
\(a_n=n+4\)
\(a_{15} = 15+4=19\)
\(a_{17}=17+4=21\)
Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=5; r=1; a_{15}=19;a_{17}=21\).
c)
2, 13, 24, 35, 46,…
rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a),
\(a_1=2\)
\(r= a_{n+1}-a_n =13-2=11\)
\( a_n=a_1+(n-1)r=2+(n-1)\cdot 11=2+11n-11=11n-9\)
\(a_n=n-9\)
\(a_{15} = 15-9=6\)
\(a_{17}=17-9=8\)
Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=2; r=11; a_{15}=6;a_{17}=8\).
Zadanie 1
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 6
Zadanie 7
Zadanie 8
Zadanie 9
Zadanie 10
Zadanie 11
a) 3, 7, 11, 15, 19,… b) 5, 6, 7, 8, 9,… c) 2, 13, 24, 35, 46,…
Do rozwiązania zadania potrzeba czterech wartości. Pierwsza \(a_1\) jest pierwszym wyrazem ciągu (pierwsza liczba w każdym podpunkcie). Druga \(r\) jest różnicą pomiędzy dwoma sąsiadującymi ze sobą wyrazami, zgodnie ze wzorem:
\(a_{n+1}-a_n = r\)
Trzecia i czwarta wartość to wyrazy piętnasty i siedemnasty podanego ciągu, do ich obliczenia użyjemy wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
\(a_n=a_1+(n-1)r\)
podstawiając wcześniej wyliczone \(a_1\) oraz \(r\) natomiast za \(n\) podstawimy odpowiednio najpierw 15 a następnie 17.
a)
3, 7, 11, 15, 19,…
Pierwszym wyrazem ciągu jest
\(a_1=3\)
Do obliczenia różnicy użyjemy wyrazu pierwszego i drugiego, tak więc:
\(r= a_{n+1}-a_n =7-3=4\)
Zanim obliczymy kolejne wartości zapiszmy wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\( a_n=a_1+(n-1)r=3+(n-1)4=3+4n-4=4n-1\)
\(a_n=4n-1\)
teraz możemy obliczyć kolejne wartości, podstawiając w miejsce \(n\) odpowiednio 15 i 17:
\(a_{15}=4\cdot 15 -1=60-1=59\)
\(a_{17}=4\cdot 17 -1=68-1=67\)
Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=3; r=4; a_{15}=59;a_{17}=67\).
b)
5, 6, 7, 8, 9,…
rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt wyżej,
\(a_1=5\)
\(r= a_{n+1}-a_n =6-5=1\)
\( a_n=a_1+(n-1)r=5+(n-1)\cdot 1=5+n-1=n+4\)
\(a_n=n+4\)
\(a_{15} = 15+4=19\)
\(a_{17}=17+4=21\)
Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=5; r=1; a_{15}=19;a_{17}=21\).
c)
2, 13, 24, 35, 46,…
rozwiązujemy analogicznie jak podpunkt a),
\(a_1=2\)
\(r= a_{n+1}-a_n =13-2=11\)
\( a_n=a_1+(n-1)r=2+(n-1)\cdot 11=2+11n-11=11n-9\)
\(a_n=n-9\)
\(a_{15} = 15-9=6\)
\(a_{17}=17-9=8\)
Odpowiedź: Szukane wartości to: \(a_1=2; r=11; a_{15}=6;a_{17}=8\).
Zadanie 1
Zadanie 3
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 6
Zadanie 7
Zadanie 8
Zadanie 9
Zadanie 10
Zadanie 11
Jak obliczyć ciąg arytmetyczny – zadanie 2 - wyniki