Nierówności liniowe – Zadanie 2 obliczenia

Rozwiąż nierówność
a) \(3(x+2)-(2-5x)>2x-8\)

b) \( (x-2)^2\leqslant (x+3)(x-3)+1\)

c) \( 2x^2+2x-4>2(x-3)(x-1)\)

d) \(5(2-x)-2(x+3) \geqslant –(x-5)\)

Rozwiązanie
a)
\(3(x+2)-(2-5x)>2x-8\)

Najpierw wymnożymy wyrażenia, następnie posegregujemy tak, jak przy rozwiązywaniu równań.

\(3(x+2)-(2-5x)>2x-8 \)

\(3x+6-2+5x >2x-8 \)

\(3x+5x -2x >-8-6+2 \)

\(6x >-12 \:\: / \: :6 \)

\(x >-2 \)

Rozwiązaniem nierówności są liczby większe od -2.
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x \: \epsilon \: (-2;+\infty)\)

b)
\( (x-2)^2\leqslant (x+3)(x-3)+1\)

Pierwszą operacją będzie wymnożenie wszystkich możliwych wyrażeń, następnie rozdzielenie zmiennych (na lewą stronę x, na prawą bez x).

\((x-2)^2\leqslant (x+3)(x-3)+1\)

\(x^2-4x+4\leqslant x^2-9+1\)

\(x^2-x^2-4x\leqslant -9+1-4\)

\(-4x\leqslant -12 \:\: / \: :(-4)\)

\(x\geqslant 3\)

Rozwiązaniem nierówności są liczby większe bądź równe 3.
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x \: \epsilon \: (3;+\infty)\)

c)
\( 2x^2+2x-4>2(x-3)(x-1)\)

Najpierw wymnażamy, następnie rozwiązujemy.

\(2x^2+2x-4>2(x-3)(x-1)\)

\(2x^2+2x-4>2(x^2-x-3x+3)\)

\(2x^2+2x-4>2x^2-2x-6x+6\)

\(2x^2-2x^2+2x+6x+2x>6+4\)

\(10x>10 \:\: / \: :10 \)

\(x>1\)

Rozwiązaniem nierówności są liczby większe od 1.
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x \: \epsilon \: (1;+\infty)\)

d)
\(5(2-x)-2(x+3) \geqslant –(x-5)\)

Jak wszystkie równania liniowe, najpierw wymnażamy, potem rozdzielamy (na prawo bez x, na lewo z x), dzielimy przez liczbę przy x i zapisujemy wynik, więc:

\(5(2-x)-2(x+3) \geqslant –(x-5)\)

\(10-5x-2x-6 \geqslant –x+5\)

\(-5x-2x+x \geqslant 5-10+6\)

\(-6x \geqslant 1 \:\: / \: :(-6)\)

\(x\leqslant -\frac{1}{6}\)

Rozwiązaniem nierówności są liczby mniejsze bądź równe od \(-\frac{1}{6}\).
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest \(x \: \epsilon \: (-\infty;-\frac{1}{6})\)