Wyznacz wartość parametru m dla którego równanie \(mx^2+(m+3)x-1=0\) posiada dwa różne pierwiastki dodatnie.
Zapamiętaj
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Rozwiązanie
Aby równanie posiadało dwa rozwiązania musi to być równanie kwadratowe, czyli parametr \(a\neq 0\). Równanie musi posiadać dwa różne rozwiązania, czyli \(\Delta>0\). Oraz pierwiastki równania myszą być dodatnie, a to można zapisać w postaci nierówności \(x_1+x_2 > 0\) oraz \(x_1\cdot x_2 > 0\).
Pierwszy warunek
\(a\neq 0\)
\(m\neq 0\)
Drugi warunek
\(\Delta >0\)
\(b^2-4ac >0\)
\((m+3)^2-4\cdot m\cdot (-1)>0\)
\(m^2+6m+9+4m>0\)
\(m^2+10m+9>0\)
Rozwiązujemy nierówność
\(\Delta_m=10^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64\)
\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{64}=8\)
\(m_1=\frac{-10-8}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-10+8}{2\cdot 1}\)
\(m_1=\frac{-18}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-2}{2}\)
\(m_1=-9 \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=-1\)
Nierówność posiada parametr a większy od zera czyli ramiona są skierowane do góry, więc rozwiązaniem jest:
\(m\: \epsilon \: (-\infty;-9)\cup (-1;+\infty)\)
Trzeci warunek
\(x_1+x_2 > 0\)
Z wzorów Viete’a
\(-\frac{b}{a} > 0\)
\(-\frac{m+3}{m} > 0\)
Już wcześniej ustalono, że \(m\neq 0\).
\(-\frac{m+3}{m} > 0 \:\: / \: \cdot m^2\)
\(-(m+3)\cdot m > 0\)
Jest to postać iloczynowa równania kwadratowego, więc łatwo odczytać, że \(m_1=-3\) oraz \(m_2=0\). Współczynnik \(a\) jest ujemny więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Rozwiązaniem jest więc:
\(m \: \epsilon \: ( -3;0 ) \)
Czwarty warunek
\(x_1\cdot x_2 > 0\)
Z wzorów Viete’a
\(\frac{c}{a} > 0\)
\(\frac{-1}{m} > 0 \:\: / \: \cdot m^2\)
\(-m > 0 \:\: / \: \cdot (-1)\)
\(m < 0\)
Rozwiązaniem warunku jest \(m \: \epsilon \: \left ( -\infty ; 0 \right )\)
Podsumowując wszystkie warunki:
1) \(m\neq 0\)
2) \(m\: \epsilon \: (-\infty;-9)\cup (-1;+\infty)\)
3) \(m \: \epsilon \: \left ( -3;0 \right )\)
4) \(m \: \epsilon \: \left ( -\infty ; 0 \right )\)
Częścią wspólną podanych zbiorów jest \(m \: \epsilon \: (-1;0)\)
Odpowiedź: Aby podane równanie \(mx^2+(m+3)x-1=0\) posiadało dwa różne pierwiastki dodatnie, parametr musi należeć do zbioru \( m \: \epsilon \: (-1;0)\)
Zapamiętaj
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Rozwiązanie
Aby równanie posiadało dwa rozwiązania musi to być równanie kwadratowe, czyli parametr \(a\neq 0\). Równanie musi posiadać dwa różne rozwiązania, czyli \(\Delta>0\). Oraz pierwiastki równania myszą być dodatnie, a to można zapisać w postaci nierówności \(x_1+x_2 > 0\) oraz \(x_1\cdot x_2 > 0\).
Pierwszy warunek
\(a\neq 0\)
\(m\neq 0\)
Drugi warunek
\(\Delta >0\)
\(b^2-4ac >0\)
\((m+3)^2-4\cdot m\cdot (-1)>0\)
\(m^2+6m+9+4m>0\)
\(m^2+10m+9>0\)
Rozwiązujemy nierówność
\(\Delta_m=10^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64\)
\(\sqrt{\Delta_m}=\sqrt{64}=8\)
\(m_1=\frac{-10-8}{2\cdot 1} \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-10+8}{2\cdot 1}\)
\(m_1=\frac{-18}{2} \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=\frac{-2}{2}\)
\(m_1=-9 \:\:\:\:\:\:\:\:\: m_2=-1\)
Nierówność posiada parametr a większy od zera czyli ramiona są skierowane do góry, więc rozwiązaniem jest:
\(m\: \epsilon \: (-\infty;-9)\cup (-1;+\infty)\)
Trzeci warunek
\(x_1+x_2 > 0\)
Z wzorów Viete’a
\(-\frac{b}{a} > 0\)
\(-\frac{m+3}{m} > 0\)
Już wcześniej ustalono, że \(m\neq 0\).
\(-\frac{m+3}{m} > 0 \:\: / \: \cdot m^2\)
\(-(m+3)\cdot m > 0\)
Jest to postać iloczynowa równania kwadratowego, więc łatwo odczytać, że \(m_1=-3\) oraz \(m_2=0\). Współczynnik \(a\) jest ujemny więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Rozwiązaniem jest więc:
\(m \: \epsilon \: ( -3;0 ) \)
Czwarty warunek
\(x_1\cdot x_2 > 0\)
Z wzorów Viete’a
\(\frac{c}{a} > 0\)
\(\frac{-1}{m} > 0 \:\: / \: \cdot m^2\)
\(-m > 0 \:\: / \: \cdot (-1)\)
\(m < 0\)
Rozwiązaniem warunku jest \(m \: \epsilon \: \left ( -\infty ; 0 \right )\)
Podsumowując wszystkie warunki:
1) \(m\neq 0\)
2) \(m\: \epsilon \: (-\infty;-9)\cup (-1;+\infty)\)
3) \(m \: \epsilon \: \left ( -3;0 \right )\)
4) \(m \: \epsilon \: \left ( -\infty ; 0 \right )\)
Częścią wspólną podanych zbiorów jest \(m \: \epsilon \: (-1;0)\)
Odpowiedź: Aby podane równanie \(mx^2+(m+3)x-1=0\) posiadało dwa różne pierwiastki dodatnie, parametr musi należeć do zbioru \( m \: \epsilon \: (-1;0)\)
Jak obliczyć wzory viete’a – zadanie 2 - wyniki