Eszkola

Dynamika spadku swobodnego

Przydatne kalkulatory i narzędzia

Spadkiem swobodnym nazywamy model pionowego ruchu ciała pod wpływem siły grawitacji. Ze względu na opór powietrza w rzeczywistości nie obserwujemy całkowicie swobodnego spadku ciał. 

Rozważmy początkowo nieruchome ciało o masie \(m\) znajdujące się na wysokości \(h_0\) nad podłożem. Jeżeli pominiemy opory ruchu, to jedyną siłą działającą na to ciało będzie siła grawitacji \(\overrightarrow{F_g}\) skierowana pionowo w dół, zgodnie ze wzorem:

\(\overrightarrow{F_g}=m\cdot \overrightarrow{g}\)
gdzie \(\overrightarrow{g}\) jest przyspieszeniem grawitacyjnym wynikającym z oddziaływania grawitacyjnego między ciałami. Dla Ziemi \(g\approx 9.81 \dfrac{m}{s^2}\) i jest nazywane przyspieszeniem ziemskim. Wartość przyspieszenia grawitacyjnego dla innych masywnych obiektów jest inna, dla przykładu na Marsie jest to \(g_{Mars}=3.71 \dfrac{m}{s^2}\), a na Księżycu  \(g_{Księżyc}=1.62 \dfrac{m}{s^2}\).

Zgodnie z II zasadą dynamiki siła grawitacji będzie nadawać ciału przyspieszenie wprost proporcjonalne do swojej wartości i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała. W związku z tym przyspieszenie  \(a\) ciała spadającego swobodnie wyniesie:

 \(a=\dfrac{F_g}{m}=\dfrac{m\cdot g}{m}=g\)

co oznacza, że każde ciało spadające swobodnie uzyskuje takie samo przyspieszenie. Z doświadczenia wiemy, że jabłko spada z drzewa szybciej niż liść, ale należy pamiętać, że spadek swobodny to tylko model, który nie uwzględnia oporu powietrza.

Spadając swobodnie ciało będzie nabierało prędkości \(v\) zgodnie z zależnością czasową:
\(v(t)=g \cdot t\),
gdzie \(t\) jest czasem ruchu.

Odległość od początkowego położenia będzie rosła jak droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym, więc całkowita wysokość nad podłożem \(h\) dana będzie zależnością:

\(h(t)=h_0 - \dfrac{1}{2}g\cdot t^2\)

Spadające ciało osiągnie poziom podłoża w momencie, gdy wysokość nad podłożem będzie równa zero, czyli po czasie:

\(t_{spadku}=\sqrt{\dfrac{2h_0}{g}}\)
 

Jeżeli uwzględnimy opór powietrza, ruch ciała nie będzie już spadkiem swobodnym. Zaobserwujemy wtedy, że po pewnym czasie prędkość ciała przestaje wzrastać i się stabilizuje. Korzystają na tym skoczkowie spadochronowi, którzy skaczą z wysokości ok. 3000 m. Gdyby ich spadek był swobodny, to przy powierzchni osiągnęliby prędkość ponad 870 km/h, ponieważ lot trwałby \(t_{spadku}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 3000}{9.81}}=24.7s\), a prędkość osiągnięta po takim czasie \(v(t_{spadku})=9.81 \cdot 24.7=242 \dfrac{m}{s}\), czyli właśnie około 870 km/h.