Eszkola

NIerówności wykładnicze i logarytmiczne

Nierówność wykładnicza to nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi. Przykładowo: 

\({2^x \ge 8}\)

Żeby rozwiązać nierówność wykładniczą, należy obie strony nierówności zapisać w postaci potęgi o tej samej podstawie, tzn.:

\({2^x \ge 2^3}\)

Kolejnym krokiem jest porównanie wykładników: \(x {\ge 3}.\)

WAŻNE! Należy pamiętać, że jeśli podstawa potęgi jest ułamkiem mniejszym od 1, to przechodząc do nierówności na wykładnikach, należy zmienić znak nierówności na przeciwny.

Inny przykład:

\(({1 \over 3})^{3x} {\le 81}\)

Zamieńmy 81 na potęgę \({1 \over 3}.\)

\(81 = 3^4 = ({1 \over 3})^{-4}\)

\(({1 \over 3})^{3x} {\le ({1 \over 3})^{-4}}\)

\(3x {\ge} -4 {\quad /: 3}\)

\(x {\ge -{4 \over 3}}\)

Nierówność logarytmiczna to nierówność, w której niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.

Jak rozwiązywać nierówności logarytmiczne? Metoda jest analogiczna do rozwiązywania równań logarytmicznych. Różnica polega na sposobie przechodzenia z nierówności logarytmów do nierówności liczb logarytmowanych.

Spójrzmy na przykład:

\(log_{1\over3}( - x) {\ge -1}\)

Wyznaczmy dziedzinę nierówności: \(-x > 0\)

\(-x >0 {\quad /{\cdot} (-1) }\)

\(x <0\)

\(log_{1\over3} (-x) {\ge log_{1\over3} 3}\) (ponieważ \(({1\over3})^{-1} = 3\))

\(-x {\le 3} {\quad / \cdot (-1)}\)

\(x {\ge -3}\)

Jak się to ma do naszej dziedziny? Spójrz: dziedziną nierówności jest \({(- \infty , 0) }\), natomiast z powyższego zapisu wynika \({<-3, \infty}).\) Jaka jest część wspólna? Oczywiście, że \(x {\in <-3, 0)}\) i to właśnie jest nasz wynik.