Eszkola

Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywa się funkcję postaci:

\(f(x) = a ^x\) (oczywiście przy założeniu, że \(a>0\))

Nazwa funkcji wykładniczej wywodzi się od tego, że zmienna x znajduje się w wykładniku. Czasami zdarza się, że wymagane jest, aby \(a{\neq 1}\), ponieważ dla \(a=1\), funkcja \(a^x\) jest stała.

Własności funkcji wykładniczych:

  • \({a^{x+y} = a^x \cdot a^y}\)
  • \({a^{x-y} = {{a^x} \over {a^y}}}\)
  • \((a^x)' = a^x ln a\)
  • dla \(a>0\) jest to funkcja rosnąca, dla \(0 < a <1\) jest malejąca, natomiast dla \(a=1\) jest to funkcja stała
  • dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
  • zbiorem wartości jest przedział \((0, {\infty})\)
  • posiada asymptotę poziomą; asymptotą wykresu funkcji, w prostym przypadku, jest prosta o równaniu \(y=0\),
  • funkcja ta nie ma miejsc zerowych,
  • jest różnowartościowa (tj. każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu).

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, tzn. funkcja wykładnicza o podstawie logarytmu naturalnego. Funkcja ta ma taką własność, że jej pochodna jest równa jej samej:

 \(f(x) = e^x {\rightarrow f'(x)= e^x}\)

Przykłady funkcji wykładniczych:

  • notacja wykładnicza,
  • ciąg geometryczny,
  • ciąg Fibonacciego,
  • funkcje hiperboliczne,
  • rozkład Poissona, rozkład dwumianowy, rozkład normalny,
  • rozkład Maxwella,
  • procent składany.