Funkcją wykładniczą nazywa się funkcję postaci:
\(f(x) = a ^x\) (oczywiście przy założeniu, że \(a>0\))
Nazwa funkcji wykładniczej wywodzi się od tego, że zmienna x znajduje się w wykładniku. Czasami zdarza się, że wymagane jest, aby \(a{\neq 1}\), ponieważ dla \(a=1\), funkcja \(a^x\) jest stała.
Własności funkcji wykładniczych:
- \({a^{x+y} = a^x \cdot a^y}\)
- \({a^{x-y} = {{a^x} \over {a^y}}}\)
- \((a^x)' = a^x ln a\)
- dla \(a>0\) jest to funkcja rosnąca, dla \(0 < a <1\) jest malejąca, natomiast dla \(a=1\) jest to funkcja stała
- dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
- zbiorem wartości jest przedział \((0, {\infty})\)
- posiada asymptotę poziomą; asymptotą wykresu funkcji, w prostym przypadku, jest prosta o równaniu \(y=0\),
- funkcja ta nie ma miejsc zerowych,
- jest różnowartościowa (tj. każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu).
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, tzn. funkcja wykładnicza o podstawie logarytmu naturalnego. Funkcja ta ma taką własność, że jej pochodna jest równa jej samej:
\(f(x) = e^x {\rightarrow f'(x)= e^x}\)
Przykłady funkcji wykładniczych:
- notacja wykładnicza,
- ciąg geometryczny,
- ciąg Fibonacciego,
- funkcje hiperboliczne,
- rozkład Poissona, rozkład dwumianowy, rozkład normalny,
- rozkład Maxwella,
- procent składany.
Funkcja wykładnicza Wasze opinie