Wzór na współczynnik prostej regresji liniowej - klasyczny model z jednym predyktorem ma postać:
\(b_1 = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2}\)
gdzie:
\(b_1\) - współczynnik regresji (dla predyktora, przy predyktorze)
\(x_i\) - wyniki dla predyktora, kolejne obserwacje zmiennej wyjaśniającej
\(y_i\) - wyniki dla zmiennej zależnej, kolejne obserwacje zmiennej wyjaśnianej
\(\bar{x}\) - średnia obserwowana wartość zmiennej wyjaśniającej, predyktora
\(\bar{y}\) - średnia obserwowana wartość zmiennej wyjaśnianej, zależnej
Wzór na stałą, parametr a ma postać:
\(a = \bar{y} - b_1\bar{x}\)
gdzie:
\(a\) - parametr wolny
Aby wyliczyć współczynnik \(b_1\) musimy następnie podzielić 620 / 4582 = 0,1353 - współczynnik prostej regresji (dla predyktora). Wyraz wolny wynosi = 10,6 - (0,1353 * 110) = -4,2843 - parametr \(a\)
\(b_1 = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2}\)
gdzie:
\(b_1\) - współczynnik regresji (dla predyktora, przy predyktorze)
\(x_i\) - wyniki dla predyktora, kolejne obserwacje zmiennej wyjaśniającej
\(y_i\) - wyniki dla zmiennej zależnej, kolejne obserwacje zmiennej wyjaśnianej
\(\bar{x}\) - średnia obserwowana wartość zmiennej wyjaśniającej, predyktora
\(\bar{y}\) - średnia obserwowana wartość zmiennej wyjaśnianej, zależnej
Wzór na stałą, parametr a ma postać:
\(a = \bar{y} - b_1\bar{x}\)
gdzie:
\(a\) - parametr wolny
Przykład:
W celu sprawdzenia czy na podstawie poziomu inteligencji badanych uczniów można przewidywać ich wynik w teście (od 0 do 20 pkt) przeprowadzono analizę regresji liniowej prostej. W tabeli poniżej przedstawiono uzyskane wyniki dla 15 osób wraz z potrzebnymi obliczeniami analizy prostej regresji liniowej.
W celu sprawdzenia czy na podstawie poziomu inteligencji badanych uczniów można przewidywać ich wynik w teście (od 0 do 20 pkt) przeprowadzono analizę regresji liniowej prostej. W tabeli poniżej przedstawiono uzyskane wyniki dla 15 osób wraz z potrzebnymi obliczeniami analizy prostej regresji liniowej.
Numer osoby | Wyniki w teście Zmienna zależna \(y_i\) | Poziom inteligencji Predyktor \(x_i\) | \(y_i - \bar{y}\) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) | \((x_i - \bar{x})^2\) |
1 | 10 | 100 | -0,6 | -10 | 6 | 100 |
2 | 12 | 110 | 1,4 | 0 | 0 | 0 |
3 | 13 | 106 | 2,4 | -4 | -9,6 | 16 |
4 | 6 | 100 | -4,6 | -10 | 46 | 100 |
5 | 9 | 90 | -1,6 | -20 | 32 | 400 |
6 | 8 | 89 | -2,6 | -21 | 54,6 | 441 |
7 | 12 | 110 | 1,4 | 0 | 0 | 0 |
8 | 10 | 120 | -0,6 | 10 | -6 | 100 |
9 | 11 | 140 | 0,4 | 30 | 12 | 900 |
10 | 16 | 125 | 5,4 | 15 | 81 | 225 |
11 | 10 | 130 | -0,6 | 20 | -12 | 400 |
12 | 5 | 100 | -5,6 | -10 | 56 | 100 |
13 | 7 | 80 | -3,6 | -30 | 108 | 900 |
14 | 19 | 140 | 8,4 | 30 | 252 | 900 |
15 | 11 | 110 | 0,4 | 0 | 0 | 0 |
\(\bar{y}=\)10,6 | \(\bar{x}=\)110 | \(\sum =\) 620 | \(\sum =\) 4582 |
Aby wyliczyć współczynnik \(b_1\) musimy następnie podzielić 620 / 4582 = 0,1353 - współczynnik prostej regresji (dla predyktora). Wyraz wolny wynosi = 10,6 - (0,1353 * 110) = -4,2843 - parametr \(a\)
Wzory na współczynniki prostej regresji liniowej - jak stosować w praktyce?