Eszkola

Równości i nierówności trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym nazywamy takie równanie, w którym zmienna występuje WYŁĄCZNIE jako argument funkcji trygonometrycznych. 

Zgodnie z powyższą definicją, przykładowymi równaniami trygonometrycznymi mogą być: 

\(sin x = {1\over 2}\)

\(sin x + cos x = 1\)

Natomiast nie mogą nimi być równania typu:

\(x + sin x = 0\)

\(3x - cos x = 1\)

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne?

  • Najlepiej, jeżeli będziemy starać się je sprowadzić do równań elementarnych, tj. jak najbardziej podstawowych, np.:

\(sin x = a \)

\(cos x = a\)

\(tg x = a\)

\(ctg x = a\)

gdzie \(a\) jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą. Wiemy, że funkcje trygonometryczne są okresowe, zatem rozwiązania dla poszczególnych elementarnych równań trygonometrycznych, będą następujące:

RÓWNANIE DZIEDZINA RÓWNANIA ROZWIĄZANIE PRZEDZIAŁ

\(sinx =a\)

\({a \in <-1,1>}\)

\({\mathbb{R}}\)

\(x_1 = x_0 + 2 k{\pi}\)

\(x_2 = {\pi - x_0 + 2k \pi}\)

\(x_0 {\in <-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}>}\)

\(cos x = a\)

\({a \in <-1,1>}\)

\({\mathbb{R}}\)

\(x_1 = x_0 + 2k {\pi}\)

\(x_2 = - x_0 + 2k{\pi}\)

\(x_0 {\in <0, \pi>}\)

\(tg x = a\)

\({a \in \mathbb{R}}\)

\({\mathbb{R} \setminus \{ x= {\pi \over 2} + k{\pi} \wedge k \in \mathbb{C} \} }\) \(x=x_0 + k{\pi}\) \(x_0 {\in (-{\pi \over 2}, {\pi \over 2})}\)

\(ctg x = a\)

\(a {\in \mathbb{R}}\)

\({\mathbb{R} \setminus \{ x = k\pi \wedge k \in \mathbb{C} \}}\) \(x=x_0 + k{\pi}\) \(x_0 {\in (0, \pi)}\)

Przykład:

Rozwiążmy równanie \(ctg x = {\sqrt 3 \over 3}\). Zastanówmy się, dla jakiego kąta z przedziału \((0, \pi)\), cotangens wynosi \({ \sqrt{3} \over 3}\)? Jest to kąt: \(x_0 = 60^o = {\pi \over 3}\), zatem rozwiązaniem naszego równania będą liczby:

\(x = {\pi \over 3} + k \pi , \quad k {\in \mathbb{C}}\)

  • Jedną z metod rozwiązywania równań trygonometrycznych może być również metoda podstawiania, w której stosujemy zmienną pomocniczą, co prowadzi do otrzymania zwykłych równań algebraicznych. 

Przykład:

Rozwiążmy równanie \(tg 2 x = 1\).

Możemy zastosować w tym celu podstawienie \(2x = t\), przez co otrzymamy: \(tg t = 1\).

Rozwiązaniem ogólnym tego równania będzie oczywiście \(t = {{\pi \over 4 }+ k\pi, \quad k \in \mathbb{C}}\). Wiedząc, że \(tg {\pi \over 4}=1\), wróćmy do naszego równania.

\(2x = {\pi \over 4} + k \pi\)

\({2x = {\pi \over 4} + k\pi} {\quad / :2}\)

\(x = {{\pi \over 8}+ k {\pi \over 2}}, {\quad k \in \mathbb{C}}\)

  • Oczywiście, przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych możemy wykorzystywać różnego rodzaju tożsamości trygonometryczne, w taki sposób, żeby doprowadzić równanie do równania elementarnego lub takiego, które będzie nam łatwiej rozwiązać.

Przykład:

Jak rozwiązać równanie \(1 - sin^2 x = cosx\)?

Skorzystajmy z tożsamości zwanej jedynką trygonometryczną, tj. \(sin^2 x + cos^2 x = 1\) oraz jej przekształcenia: \(cos^2 x = 1 - sin^2 x\)

\(1-sin^2 x = cos x\)

\(cos^2 x = cos x\)

\(cos^2 x - cos x = 0\)

\(cosx(cosx -1) = 0\)

Oczywiście pamiętamy, że iloczyn dwóch czynników jest zerem, gdy jeden z nich jest równy zeru lub, gdy oba są równe zeru. Korzystając z tego otrzymujemy:

\({cos x = 0 \vee cosx-1 = 0}\)

\({cosx = 0 \vee cosx = 1}\)

Tutaj możemy skorzystać z tabeli rozwiązań równań elementarnych (pamiętając o rozwiązaniu \(cos x = a\)) i otrzymamy rozwiązanie ogólne postaci:

\(x= {{\pi \over 2} +2k\pi \vee x= - {\pi \over 2} + 2 k\pi \vee x=2k\pi, \quad k\in \mathbb{C}}\)

 

Nierównością trygonometryczną nazywamy nierówność, w której  niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Przykładami nierówności trygonometrycznych mogą być:

\(sin x > {\sqrt{2}}\)

\(sin x < cosx\)

Jak rozwiązywać nierówności trygonometryczne?

Nierówności trygonometryczne najprościej jest rozwiązywać, zaczynając od tego, aby po jednej stronie nierówności znajdowało się wyrażenie w postaci elementarnej a po drugiej wyrażenie liczbowe. Następnie można sporządzić wykres, aby łatwiej było odczytać rozwiązanie.