Wzory Viete`a dla równania 3 stopnia

O stopniu wielomianu decyduje jego najwyższa potęga i tak:

2x1 - 5    wielomian pierwszego stopnia
3x2 - 2x - 5   wielomian drugiego stopnia
-3x3 + 3x2 - 2x - 5    wielomian trzeciego stopnia

Każdy wielomian możemy zapisać w postaci:

an (x - x1) · (x - x2) · (x - x3) · ... · (x - xn-1) · (x - xn) = a0x0 · a1x1 · a2x2 · ... · an-1xn-1 · anxn

gdzie x1, x2, ...xn to pierwiastki wielomianu

W zależności od tego, który mamy stopień wielomianu tyle musi być wzorów Viete`a czyli dla wielomianu drugiego stopnia będą dwa wzory, trzeciego stopnia trzy wzory itd.

Zasada 1. Stopień wielomianu pokazuje, ile ma być równań
ax3 + bx2 + cx + d = a(x - x1) · (x - x2)· (x - x3)

Zasada 2. Suma wszystkich niewiadomych wynosi \( -{b \over a}\)
x1 + x2 + x3 = \( -{b \over a}\)

Zasada 3. Suma iloczynów wszystkich kombinacji wynosi \( {c \over a}\)
(x2 · x1) + (x3 · x2) + (x1 · x3) = \( {c \over a}\)

Zasada 4. Iloczyn wszystkich pierwiastków równania jest równy \( -{d \over a}\)
x1 · x2 · x3 = \( -{d \over a}\)

Zasada 5. Znaki zmieniają się naprzemiennie po prawej stronie równań:

  • dla wielomianu 3 stopnia będzie to: \( -{b \over a}\), \( {c \over a}\), \( -{d \over a}\)
  • dla wielomianu 4 stopnia będzie to: \( -{b \over a}\), \( {c \over a}\), \( -{d \over a}\), \( {e \over a}\)
  • dla wielomianu 5 stopnia będzie to: \( -{b \over a}\), \( {c \over a}\), \( -{d \over a}\), \( {e \over a}\), \( -{f \over a}\)

Podsumowując, dla wielomianu 3 stopnia otrzymujemy 3 równania:

 x1 + x2 + x3 = \( -{b \over a}\)
 (x2 · x1) + (x3 · x2) + (x1 · x3) = \( {c \over a}\)
 x1 · x2 · x3 = \( -{d \over a}\)

Sito Erastotenesa - nazwa pochodzi nazwiska greckiego matematyka, który jako pierwszy wymyślił metodę wyznaczania wszystkich liczb pierwszych nie większych od zadanej liczby. Aby udowodnić, czy dana liczba naturalna n jest na pewno liczbą pierwszą, powinniśmy dzielić ją przez każdą liczbę m > 1, gdzie m2 ≤ n trzeba tu wykonać dużą ilość dzieleń. Metoda opracowana przez Erastotenesa polegała na usuwaniu ze zbioru liczb naturalnych wielokrotności kolejnych liczb, które nie były wcześniej usunięte.

Algorytm Euklidesa - to szybka metoda na obliczenie największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch liczb całkowitych. Aby obliczyć NWD (x,y) robi się to w następujących krokach: dzielimy z resztą liczbę x przez y, jeżeli otrzymana reszta jest równa 0 to NWD(x,y) = y, jeżeli otrzymana wartość jest różna od zera to przypisujemy liczbie x wartość liczby y, liczbie y wartość otrzymanej reszty i ponownie wykonujemy dzielenie.

Przykład 1. Oblicz NWD liczby 182 i 78

  • Pierwszym krokiem będzie podzielenie liczby 182 na 78 z reszt

182 / 78 = 2 i reszta 26

  • w związku z tym, że otrzymana reszta jest różna od 0, dziele teraz liczbę 78 na 26

78 / 26 = 2 i reszty 22
26 / 22 = 1 i reszty 4
22 / 4 = 5 i reszty 2
4 / 2 = 2 i reszty 0

Odp. Jak dojdziemy do momentu gdy otrzymana reszta jest równa 0 to NWD bedzie równy ostatniej niezerowej reszcie NWD (182,78) = 2