Drgające masy obliczenia

Zadanie.

Dane są dwie masy drgające na identycznych sprężynach. Okresy drgań \(T_1\) (masa \(m_1\)) i \(T_2\) (masa \(m_2\)) spełniają zależność \(\frac{T_1}{T_2}=3\), jaka relacja łączy drgające masy?

Dane:

\(\frac{T_1}{T_2}=3\) - relacja między okresami drgań

\(\frac{m_1}{m_2}=?\) - relacja między drgającymi masami

Rozwiązanie:

Okres drgań masy na sprężynie o współczynniku sprężystości \(k\) dany jest wzorem:

\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)

Ponieważ masy drgają na identycznych sprężynach, współczynnik sprężystości będzie taki sam dla obu. Można więc zapisać:

\(T_1=2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}\) oraz \(T_2=2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}\)

Korzystając z relacji między okresami:

\(\frac{T_1}{T_2}=\frac{2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}}=3\)

co po skróceniu ułamka w środku daje:

\(\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}=3\)

Stąd:

\(\frac{m_1}{m_2}=9\)