Prędkość średnia na dwóch odcinkach obliczenia

Zadanie.

Oblicz prędkość średnią pojazdu, który przez \(50[km]\) jechał z prędkością \(25[\frac{km}{h}]\), a przez \(50[km]\) z prędkością \(75[\frac{km}{h}]\)

Dane:

\(v_2=75[\frac{km}{h}]\) - prędkość na drugim odcinku

\(v_1=25[\frac{km}{h}]\) - prędkość na pierwszym odcinku

\(s_1=s_2=50[km]\) - długości odcinków

\(v_{śr}=?\) - prędkość średnia

Rozwiązanie:

Prędkość średnia to całkowita droga podzielona przez całkowity czas \(t_1 + t_2\) jazdy.

\(v_{śr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}\)

Ponieważ: \(v=\frac{s}{t}\) to:

\(t=\frac{s}{v}\)

Można zatem zapisać:

\(t_1=\frac{s_1}{v_1}\) oraz \(t_2=\frac{s_2}{v_2}\)

Podstawiając to do wzoru na prędkość średnią i wykorzystując \(s_1=s_2=50[km]\) otrzymamy:

\(v_{śr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}=\frac{2s_1}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_1}{v_2}}\)

Ułamek ten można uprościć dzieląc licznik i mianownik przez drogę, wtedy:

\(v_{śr}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2}{\frac{v_2+v_1}{v_1 v_2}}=\frac{2v_1 v_2}{v_1+v_2}\)

Podstawiając dane zadania:

\(v_{śr}=\frac{2\cdot 25\cdot 75}{25+75}=37.5[\frac{km}{h}]\)