Kombinacje z powtórzeniami
Mając dany zbiór n-elementowy kombinacją z powtórzeniami elementów zbioru nazywa się każdy zbiór k-wyrazowy.
Kombinacje z powtórzeniami są rozszerzeniem kombinacji bez powtórzeń o możliwość powtarzania się elementów.
Dla jasności definicję można opisać w następujących punktach:
1) Kolejność wyrazów nie jest istotna,
2) Elementy mogą się powtarzać
Przykład
Rzucamy trzema kostkami do gry jednocześnie, ile jest możliwych wyników. Zwrócić uwagę należy na to, że kolejność jest nieistotna, czyli wynik (6,4,1), (6,1,4), (1,6,4), to ten sam wynik i jest liczony jako jeden.
Więc ilość elementów w zbiorze to k=3 natomiast ilość ścianek na kostce, czyli zbiór elementów to n=6.
Wzór z którego obliczamy to:
\(\overline{C}_n^{\:k}=\dfrac{(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}\)
\(\dfrac{(6+3-1)!}{3!\cdot (6-1)!}=\dfrac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{6\cdot 5!}=56\)
Kombinacje z powtórzeniami Wasze opinie
Przykład ten trzeba moim zdaniem dokładniej opisać. Niby jest tu napisana prawda, ale taki opis może wprowadzać w błąd, zwłaszcza młode dzieciaki uczące się rachunku prawdopodobieństwa. Liczba wszystkich potencjalnych wyników w rzucie trzema takimi samymi sześciennymi kostkami do gry to liczba wariacji z powtórzeniami: 3-elementowych wariacji z powt. na zbiorze 6-elementowym: 6 do potęgi 3. (ogólnie "n" do potęgi "k"), czyli tu 216 (łatwiej byłoby wyobrazić sobie tabelę wyników przy rzucie dwoma jednakowymi kostkami do gry - byłaby to tabela o rozmiarach 6 x 6, przy trzech kostkach dochodzi jakby 3. wymiar). Liczba 56 to liczba możliwych do uzyskania różnych wyników, jeżeli przyjmiemy, że nie interesuje nas kolejność elementów w zbiorze wynikowym, czyli w taki sposób, jak to zostało opisane w przykładzie - cytuję: "wynik (6,4,1), (6,1,4), (1,6,4), to ten sam wynik i jest liczony jako jeden". W zasadzie wszystko tu jest napisane dobrze, trzeba tylko dopisać, że ta liczba kombinacji z powtórzeniami (liczba 56 w tym przykładzie) nie może być traktowana jako liczba elementów zbioru potencjalnych wyników (mianownik) dla obliczenia prawdopodobieństwa uzyskania konkretnego wyniku, np. wyniku 6, 4, 1 na trzech kostkach, nawet jeśli nie interesuje nas kolejność w zbiorze wynikowym, czyli jeśli nie interesuje nas która liczba oczek wypadła na której kostce. Np. prawdopodobieństwo uzyskania wyników 6, 4, 1 na trzech kostkach bez uwzględnienia kolejności który wynik na której kostce wynosi 6/216 (6 to liczba możliwości uporządkowania zbioru wyników), czyli po skróceniu 1/36, a nie 1/56, co można by błędnie wywnioskować przyjmując, że jest to jeden z 56 możliwych różnych wyników (nie wszystkie spośród tych 56 różnych wyników są jednakowo prawdopodobne).