Przed przystąpieniem obliczania statystyki U należy porangować obserwacje od wartości 1 do n (liczba obserwacji).
Wzór na test U Manna-Whitneya (zwany również testem Wilcoxona-Manna-Whitneya) ma postać:
\(U = R_{min(k)} - \dfrac{n_k(n_k + 1)}{2}\)
gdzie:
\(U\) - wynik testu U Manna-Whitneya
\(R_{min(k)}\) - suma rang dla grupy, w której suma jest mniejsza
\(n_k\) - liczba obserwacji w grupie z mniejszą sumą rang
Wzór ten wykorzystujemy w przypadku małej liczebności próby.
Dla większej liczby obserwacji statystykę możemy przybliżać rozkładem normalnym, zatem do obliczenia wykorzystujemy test Z
Wartość oczekiwana i wariancja w teście U Manna-Whitneya obliczamy ze wzorów:
\(E(U) = \dfrac{n_1n_2}{2}\)
\(V(U) = \dfrac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}\)
Należy jednak pamiętać, aby do wzoru wprowadzić poprawkę na rangi wiązane, zatem wzór na test U Manna-Whitneya, z wykorzystaniem testu Z ma postać:
\(Z = \dfrac{U - \dfrac{n_1n_2}{2}}{\sqrt{\dfrac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12} - \dfrac{n_1n_2\sum\limits_{i=1}(t_{i}^3 - t_i)}{12(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}}}\)
gdzie:
\(Z\) - wynik testu Z (dla testu U Manna-Whitneya)
\(U\) - wynik testu U Manna-Whitneya
\(n_1\) - liczebność pierwszej grupy
\(n_2\) - liczebność drugiej grupy
\(t\) - liczba obserwacji posiadających tę samą rangę
Gdy w zbiorze nie ma rang wiązanych (czyli takich samych rang przypisanych do większej liczby niż jedna obserwacja) to poprawka automatyczni przyjmie wartość 0 (mnożenie przez 0), ponieważ \(\sum\limits_{i=1}(t_{i}^3 - t_i)\) wyniesie 0
\(U\) - wynik testu U Manna-Whitneya
\(R_{min(k)}\) - suma rang dla grupy, w której suma jest mniejsza
\(n_k\) - liczba obserwacji w grupie z mniejszą sumą rang
Wzór ten wykorzystujemy w przypadku małej liczebności próby.
Dla większej liczby obserwacji statystykę możemy przybliżać rozkładem normalnym, zatem do obliczenia wykorzystujemy test Z
Wartość oczekiwana i wariancja w teście U Manna-Whitneya obliczamy ze wzorów:
\(E(U) = \dfrac{n_1n_2}{2}\)
\(V(U) = \dfrac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12}\)
Należy jednak pamiętać, aby do wzoru wprowadzić poprawkę na rangi wiązane, zatem wzór na test U Manna-Whitneya, z wykorzystaniem testu Z ma postać:
\(Z = \dfrac{U - \dfrac{n_1n_2}{2}}{\sqrt{\dfrac{n_1n_2(n_1+n_2+1)}{12} - \dfrac{n_1n_2\sum\limits_{i=1}(t_{i}^3 - t_i)}{12(n_1+n_2)(n_1+n_2-1)}}}\)
gdzie:
\(Z\) - wynik testu Z (dla testu U Manna-Whitneya)
\(U\) - wynik testu U Manna-Whitneya
\(n_1\) - liczebność pierwszej grupy
\(n_2\) - liczebność drugiej grupy
\(t\) - liczba obserwacji posiadających tę samą rangę
Gdy w zbiorze nie ma rang wiązanych (czyli takich samych rang przypisanych do większej liczby niż jedna obserwacja) to poprawka automatyczni przyjmie wartość 0 (mnożenie przez 0), ponieważ \(\sum\limits_{i=1}(t_{i}^3 - t_i)\) wyniesie 0
Wzór na test U Manna-Whitneya - jak stosować w praktyce?
Wzór na test U Manna-Whitneya - jak stosować? przykład