Właściwości i wzory logarytmów - opis

Warunki w logarytmie:

\(a>0\) i \(a\neq1\) i \(c>0\)

Dla postaci:

\(\log_{a}c=b\Leftrightarrow a^b=c\)

Poniżej zamieszczamy wzory i właściwości logarytmów.

\(a^{\log_{a}c}=c\)

dla dowolnych x>0, y>0 oraz r zachodzą wzory:

\(\log_{a}(x\cdot y)=\log_{a}x+\log_{a}y\)

\(\log_{a}x^r=r\cdot \log_{a}x\)

\(\log_{a} \left ( \frac{x}{y} \right )=\log_{a}x-\log_{a}y\)

Wzór na zamianę podstawy logarytmu:

Jeżeli \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\), \(b\neq 1\) oraz \(c>0\), to

\(\log_{b}c=\dfrac{\log_{a}c}{\log_{a}b}\)

Z powyższego wzoru wynika:

\(\log_{b}c=\dfrac{1}{\log_{c}b}\)

Pozostałe właściwości:

\(\log_{a}1=0\)

\(\log_{a}a=1\)

\(\log_{a}a^b=b\)

Oznaczanie logarytmów:

\(\log x\) oraz \(\lg x\) oznacza \(\log_{10} x\);

\(\ln x\) oznacza \(log_{e} x\), gdzie \(e\) to stała wynosząca \(e=2,71828182\cdots \);

Przykładowe zadania

Zad.1) Oblicz wartość logarytmów:

a) \(\log_{2} \dfrac{1}{2}\)

b) \(\log_{5} \dfrac{1}{5}\)

c) \(\log_{7} \dfrac{1}{49}\)

d) \(\log_{3} \dfrac{1}{81}\)

e) \(\log_{2} \dfrac{1}{16}\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 2) Oblicz wartość logarytmów:

a) \(2\log_{16} 4\)

b) \(3\log_{27} 3\)

c) \(10\log_{32} 2\)

d) \(-4\log_{\frac{1}{25}} 5\)

e) \(6\log_{2} 2\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 3) Oblicz wartość logarytmów:

a) \(3^{\log_{3} 8}\)

b) \(6^{\log_{6} 19}\)

c) \(8^{2\cdot \log_{8} 3}\)

d) \(4^{\log_{2} \sqrt{7}}\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 4) Oblicz wartość logarytmów:

a) \(\log_{14} 7+\log_{14} 2\)

b) \(\log_{9} 27+\log_{9} 3\)

c) \(\log_{4} 2+\log_{4} 8\)

d) \(\log 25 +\log 4 \)

e) \(\log_{7} \dfrac{1}{3}+\log_{7} 3\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 5) Oblicz wartość logarytmów:

a) \(\log_{3} 6-\log_{3} 2\)

b) \(\log_{2} 12-\log_{2} 3\)

c) \(\log_{7} 28-\log_{7} 4\)

d) \(\log_{5} 100-\log_{5} 4\)

e) \(\log_{12} 24-\log_{12} 2\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 6) Oblicz wartość logarytmów:

a) \(2\log_{6} 3+\log_{6} 4\)

b) \(\log_{4} 25-2\log_{4} 3\)

c) \(\log_{7} 392-3\log_{7} 2\)

d) \(2\log_{72} 3+3\log_{72} 2\)

e) \(2\log_{80} 4+\log_{80} 5\)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 7) Oblicz wartość logarytmów:

a) \(\log_{2} 2^4\)

b) \(\log_{5} \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)

c) \(\log_{7} \dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{7^3}}\)

d) \(\log_{4} \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[5]{4}}\)

e) \(\log 10\sqrt[3]{10} \)      Zobacz rozwiązanie

Zad. 8) Oblicz wartość logarytmów:

a) \(\log_{4} 2\)

b) \(\log_{36} 6\)

c) \(\log_{\frac{1}{5}} 25\)

d) \(\log_{81} 27\)

e) \(\log_{\frac{1}{3}} 3\sqrt[7]{3}\)      Zobacz rozwiązanie