Mediana, wartość środkowa zbioru

Mediana jest jedną z najpopularniejszych miar centralnych w statystyce. Mediana zwana jest również jako wartość środkowa zbioru. Mediana dzieli wszystkie nasze obserwacje na dwie równe co do ilości obserwacji grupy (w teorii) - wyniki niższe niż mediana i wyniki wyższe niż mediana. Inaczej mówiąc, wartość mediany wskazuje nam, że połowa naszych wyników ma wartość poniżej wartości mediany, a druga połowa ma wartość powyżej wartości mediany. 

Przykład mediany

Uczniowie klasy Vc (15 osób), ustawili się w rzędzie od najniższego do najwyższego. Nauczyciel zmierzył wzrost wszystkim osobom:

139, 141, 142, 147, 148, 149, 149, 150, 152, 153, 153, 155, 158, 159, 161 

Mógł zatem stwierdzić, że połowa osób ma wzrost nie większy niż 150 cm (mediana = 150), a połowa klasy ma wzrost nie mniejszy niż 150 osób. 8 osoba w szeregu stanowiła wartość środkową zbioru.

(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15) 

Taka sama liczba osób była poniżej tej wartości, jak również powyżej tej wartości: po 7 osób. W naszym przykładzie 8 osoba z kolei stanowi wartość środkową, czyli medianę. Aby wyliczyć medianę, należy wszystkie nasze obserwacje uporządkować od wartości najniższej do najwyższej i wyznaczyć punkt środkowy. Można oczywiście posiłkować się następującym wzorem:

Me (symbol mediany) = (n + 1)/2. 

Jednak ten wzór dotyczy TYLKO przypadku, gdy mamy w zbiorze nieparzystą liczbę obserwacji.

Problem pojawia się w sytuacji, gdy mam parzystą liczbę obserwacji. Musimy obliczyć średnią arytmetyczną pomiędzy dwiema środkowymi wartościami. 

Przykład II

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

W naszym zbiorze nie ma wartości środkowej, albo inaczej - mamy je aż dwie. Dlatego wyliczyć należy średnią arytmetyczną z tych dwóch wartości. W przykładzie będzie to 4,5, ponieważ (4+5)/2 = 4,5.

Kolejnym ważnym aspektem, na który należy zwrócić uwagę to fakt, że gdy mamy nieparzystą liczbę osób, powstaje pytanie, czy ta obserwacja, która równa jest medianie, należy do pierwszej, czy do drugiej połówki zbioru? I w takim przypadku statystycy umówili się, że taką obserwację będą zaliczać do zbioru poniżej mediany, dodając w opisie tej grupy: wartości niższe bądź równe medianie. Naturalnie tworzy się wtedy minimalna nie równoliczność grup, aczkolwiek jest ona znikoma. Oczywiście odwrotny sposób też jest dopuszczalny, ale należy zastosować inny, odpowiedni komentarz. 

Mediana Właściwości: 

• Mediana równoważna jest drugiemu kwartylowi, są to zamienne nazwy, drugi kwartyl i mediana dzielą zbiór obserwacji na połowy
• Mediana z próby jest zgodnym i nieobciążonym (asymptotycznie) estymatorem wartości oczekiwanej w populacji
• Mediana jest odporna na przypadki odstające w zebranej przez nas próbie - mediana a średnia
• Mediana wykorzystywana jest jako statystyka opisowa dla zmiennych o charakterze porządkowym, jej wartość określa średni poziom danej zmiennej (z racji, że dla zmiennych o takich charakterze średnia arytmetyczna nie występuje)

Przykład:

Zbadano poziom wykształcenia 20 badanych osób. 3 osoby miały wykształcenie podstawowe, 2 wykształcenie gimnazjalne, 6 wykształcenie zawodowe, 6 wykształcenie średnia a 3 wykształcenie wyższe. Uszeregowano osoby w kolejności od najniższego do najwyższego wykształcenia i sprawdzono jaki poziom wykształcenia mają osoby znajdujące się w "środku". Były to osoby z wykształceniem zawodowym. Można zatem powiedzieć, że mediana wykształcenia badanych osób wyniosła: wykształcenie zawodowe. Przy czym, w opisanym przykładzie nie moglibyśmy obliczyć poziomu średniej, ponieważ nie mamy wartości liczbowych, są tylko wartości porządkowe.

Średnia dotyczy się liczb, a mediana może dotyczyć się kategorii, pod warunkiem że możemy je uszeregować w jakiejś kolejności.